Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 168 Мордкович — Подробные Ответы
Докажите тождество:
а) \(\frac{a^{3} — 64}{a — 4} + 4a = (a + 4)^{2}\)
б) \((3b — 1)(3b + 1) — \frac{27b^{3} + 1}{3b + 1} = 3b\)
в) \(\frac{c^{3} + 125}{c + 5} — 5c = (c — 5)^{2}\)
г) \(\frac{8d^{3} — 27}{2d — 3} — (2d + 3)^{2} = -6d\)
а) \[
\frac{a^{3} — 64}{a — 4} + 4a = (a + 4)^{2}
\]
\[
\frac{(a — 4)(a^{2} + 4a + 16)}{a — 4} + 4a = (a + 4)^{2}
\]
\[
a^{2} + 4a + 16 + 4a = (a + 4)^{2}
\]
\[
a^{2} + 8a + 16 = (a + 4)^{2}
\]
\[
(a + 4)^{2} = (a + 4)^{2} — \text{верно.}
\]
б) Скорее всего в учебнике опечатка, если после равно поставим 3b — 2, то равенство будет верным:
\[
(3b — 1)(3b + 1) — \frac{27b^{3} + 1}{3b + 1} = 3b — 2
\]
\[
9b^{2} — 1 — \frac{(3b + 1)(9b^{2} — 3b + 1)}{3b + 1} = 3b — 2
\]
\[
9b^{2} — 1 — (9b^{2} — 3b + 1) = 3b — 2
\]
\[
9b^{2} — 1 — 9b^{2} + 3b — 1 = 3b — 2
\]
\[
3b — 2 = 3b — 2 — \text{верно.}
\]
в) \[
\frac{c^{3} + 125}{c + 5} — 5c = (c — 5)^{2}
\]
\[
\frac{(c + 5)(c^{2} — 5c + 25)}{c + 5} — 5c = (c — 5)^{2}
\]
\[
c^{2} — 5c + 25 — 5c = (c — 5)^{2}
\]
\[
c^{2} — 10c + 25 = (c — 5)^{2}
\]
\[
(c — 5)^{2} = (c — 5)^{2} — \text{верно.}
\]
г) \[
\frac{8d^{3} — 27}{2d — 3} — (2d + 3)^{2} = -6d
\]
\[
\frac{(2d — 3)(4d^{2} + 6d + 9)}{2d — 3} — (2d + 3)^{2} = -6d
\]
\[
4d^{2} + 6d + 9 — 4d^{2} — 12d — 9 = -6d
\]
\[
-6d = -6d — \text{верно.}
\]
а) \[
\frac{a^{3} — 64}{a — 4} + 4a = (a + 4)^{2}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(a — 4)(a^{2} + 4a + 16)}{a — 4} + 4a = (a + 4)^{2}
\]
\[
a^{2} + 4a + 16 + 4a = (a + 4)^{2}
\]
\[
a^{2} + 8a + 16 = a^{2} + 8a + 16
\]
\[
(a + 4)^{2} = (a + 4)^{2} \text{ — верно}
\]
Подробный шаг: Применяем формулу разности кубов \(a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2})\) к числителю дроби:
\[
a^{3} — 64 = a^{3} — 4^{3} = (a — 4)(a^{2} + 4a + 16)
\]
Сокращаем дробь, так как \(a \neq 4\):
\[
\frac{(a — 4)(a^{2} + 4a + 16)}{a — 4} = a^{2} + 4a + 16
\]
Прибавляем \(4a\) к полученному выражению:
\[
a^{2} + 4a + 16 + 4a = a^{2} + 8a + 16
\]
Раскрываем правую часть по формуле квадрата суммы:
\[
(a + 4)^{2} = a^{2} + 8a + 16
\]
Сравниваем обе части уравнения:
\[
a^{2} + 8a + 16 = a^{2} + 8a + 16
\]
Равенство верно для всех допустимых значений \(a\) (\(a \neq 4\)).
б) \[
(3b — 1)(3b + 1) — \frac{27b^{3} + 1}{3b + 1} = 3b — 2
\]
Краткий шаг:
\[
9b^{2} — 1 — \frac{(3b + 1)(9b^{2} — 3b + 1)}{3b + 1} = 3b — 2
\]
\[
9b^{2} — 1 — (9b^{2} — 3b + 1) = 3b — 2
\]
\[
9b^{2} — 1 — 9b^{2} + 3b — 1 = 3b — 2
\]
\[
3b — 2 = 3b — 2 \text{ — верно}
\]
Подробный шаг: Раскрываем первое слагаемое как разность квадратов:
\[
(3b — 1)(3b + 1) = (3b)^{2} — 1^{2} = 9b^{2} — 1
\]
Применяем формулу суммы кубов \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\) к числителю дроби:
\[
27b^{3} + 1 = (3b)^{3} + 1^{3} = (3b + 1)(9b^{2} — 3b + 1)
\]
Сокращаем дробь, так как \(3b + 1 \neq 0\):
\[
\frac{(3b + 1)(9b^{2} — 3b + 1)}{3b + 1} = 9b^{2} — 3b + 1
\]
Подставляем в исходное выражение:
\[
9b^{2} — 1 — (9b^{2} — 3b + 1) = 9b^{2} — 1 — 9b^{2} + 3b — 1
\]
Упрощаем:
\[
(9b^{2} — 9b^{2}) + 3b + (-1 — 1) = 3b — 2
\]
Результат совпадает с правой частью уравнения, следовательно, равенство верно для всех допустимых значений \(b\) (\(b \neq -\frac{1}{3}\)).
в) \[
\frac{c^{3} + 125}{c + 5} — 5c = (c — 5)^{2}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(c + 5)(c^{2} — 5c + 25)}{c + 5} — 5c = (c — 5)^{2}
\]
\[
c^{2} — 5c + 25 — 5c = c^{2} — 10c + 25
\]
\[
c^{2} — 10c + 25 = c^{2} — 10c + 25 \text{ — верно}
\]
Подробный шаг: Применяем формулу суммы кубов к числителю дроби:
\[
c^{3} + 125 = c^{3} + 5^{3} = (c + 5)(c^{2} — 5c + 25)
\]
Сокращаем дробь, так как \(c \neq -5\):
\[
\frac{(c + 5)(c^{2} — 5c + 25)}{c + 5} = c^{2} — 5c + 25
\]
Вычитаем \(5c\):
\[
c^{2} — 5c + 25 — 5c = c^{2} — 10c + 25
\]
Раскрываем правую часть по формуле квадрата разности:
\[
(c — 5)^{2} = c^{2} — 10c + 25
\]
Сравниваем обе части:
\[
c^{2} — 10c + 25 = c^{2} — 10c + 25
\]
Равенство верно для всех допустимых значений \(c\) (\(c \neq -5\)).
г) \[
\frac{8d^{3} — 27}{2d — 3} — (2d + 3)^{2} = -6d
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(2d — 3)(4d^{2} + 6d + 9)}{2d — 3} — (4d^{2} + 12d + 9) = -6d
\]
\[
4d^{2} + 6d + 9 — 4d^{2} — 12d — 9 = -6d
\]
\[
-6d = -6d \text{ — верно}
\]
Подробный шаг: Применяем формулу разности кубов к числителю дроби:
\[
8d^{3} — 27 = (2d)^{3} — 3^{3} = (2d — 3)(4d^{2} + 6d + 9)
\]
Сокращаем дробь, так как \(2d — 3 \neq 0\):
\[
\frac{(2d — 3)(4d^{2} + 6d + 9)}{2d — 3} = 4d^{2} + 6d + 9
\]
Раскрываем квадрат суммы:
\[
(2d + 3)^{2} = 4d^{2} + 12d + 9
\]
Подставляем в исходное выражение:
\[
4d^{2} + 6d + 9 — (4d^{2} + 12d + 9) = 4d^{2} + 6d + 9 — 4d^{2} — 12d — 9
\]
Упрощаем:
\[
(4d^{2} — 4d^{2}) + (6d — 12d) + (9 — 9) = -6d
\]
Результат совпадает с правой частью уравнения, следовательно, равенство верно для всех допустимых значений \(d\) (\(d \neq \frac{3}{2}\)).
Итоговые ответы:
а) Равенство верно для всех \(a \neq 4\)
б) Равенство верно для всех \(b \neq -\frac{1}{3}\)
в) Равенство верно для всех \(c \neq -5\)
г) Равенство верно для всех \(d \neq \frac{3}{2}\)
