Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 169 Мордкович — Подробные Ответы
Докажите тождество:
а) \[
a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b) = (a + b)^{3}
\]
б) \[
a^{3} — b^{3} — 3ab(a — b) = (a — b)^{3}
\]
а)
\( a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3 \)
Раскроем правую часть тождества:
\( (a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 \)
\( (a + b)^3 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) \)
\( (a + b)^3 = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) \)
\( (a + b)^3 = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 \)
Приведем подобные слагаемые:
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
Перегруппируем слагаемые:
\( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 \)
Вынесем общий множитель \( 3ab \) из последних двух слагаемых:
\( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \)
Левая часть тождества равна правой части, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано
б)
\( a^3 — b^3 — 3ab(a — b) = (a — b)^3 \)
Раскроем правую часть тождества:
\( (a — b)^3 = (a — b)(a — b)^2 \)
\( (a — b)^3 = (a — b)(a^2 — 2ab + b^2) \)
\( (a — b)^3 = a(a^2 — 2ab + b^2) — b(a^2 — 2ab + b^2) \)
\( (a — b)^3 = a^3 — 2a^2b + ab^2 — a^2b + 2ab^2 — b^3 \)
Приведем подобные слагаемые:
\( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \)
Перегруппируем слагаемые:
\( (a — b)^3 = a^3 — b^3 — 3a^2b + 3ab^2 \)
Вынесем общий множитель \( -3ab \) из последних двух слагаемых:
\( (a — b)^3 = a^3 — b^3 — 3ab(a — b) \)
Левая часть тождества равна правой части, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано
Условие: Докажите тождество:
а)
\( a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3 \);
б)
\( a^3 — b^3 — 3ab(a — b) = (a — b)^3 \).
Решение:
а) Докажем тождество \( a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3 \).
Рассмотрим левую часть тождества:
\( a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \)
Раскроем скобки в выражении \( 3ab(a + b) \):
\( 3ab(a + b) = 3a^2b + 3ab^2 \)
Подставим полученное выражение обратно в левую часть тождества:
\( a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 \)
Перегруппируем слагаемые для удобства сравнения:
\( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
Известно, что формула куба суммы имеет вид:
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
Следовательно, левая часть тождества равна правой части:
\( a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3 \)
Тождество доказано.
б) Докажем тождество \( a^3 — b^3 — 3ab(a — b) = (a — b)^3 \).
Рассмотрим левую часть тождества:
\( a^3 — b^3 — 3ab(a — b) \)
Раскроем скобки в выражении \( -3ab(a — b) \):
\( -3ab(a — b) = -3a^2b + 3ab^2 \)
Подставим полученное выражение обратно в левую часть тождества:
\( a^3 — b^3 — 3a^2b + 3ab^2 \)
Перегруппируем слагаемые для удобства сравнения:
\( a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \)
Известно, что формула куба разности имеет вид:
\( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \)
Следовательно, левая часть тождества равна правой части:
\( a^3 — b^3 — 3ab(a — b) = (a — b)^3 \)
Тождество доказано.
Ответ: Тождества доказаны.
