Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 172 Мордкович — Подробные Ответы
Вычислите наиболее рациональным способом:
а) \[
\frac{910}{137^{2} — 123^{2}}
\]
б) \[
\frac{274^{2} — 34^{2}}{960}
\]
в) \[
\frac{53^{2} — 27^{2}}{79^{2} — 51^{2}}
\]
г) \[
\frac{14400}{324^{2} — 36^{2}}
\]
а) \[
\frac{910}{137^2 — 123^2} = \frac{910}{(137 — 123)(137 + 123)}
\]
\[
= \frac{910}{14 \cdot 260}
\]
\[
= \frac{91}{14 \cdot 26}
\]
\[
= \frac{7 \cdot 13}{2 \cdot 26}
\]
\[
= \frac{1}{2 \cdot 2}
\]
\[
= \frac{1}{4}
\]
б) \[
\frac{274^2 — 34^2}{960} = \frac{(274 — 34)(274 + 34)}{960}
\]
\[
= \frac{240 \cdot 308}{960}
\]
\[
= \frac{24 \cdot 308}{96}
\]
\[
= \frac{24 \cdot 308}{24 \cdot 4}
\]
\[
= \frac{308}{4}
\]
\[
= 77
\]
в) \[
\frac{53^2 — 27^2}{79^2 — 51^2} = \frac{(53 — 27)(53 + 27)}{(79 — 51)(79 + 51)}
\]
\[
= \frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130}
\]
\[
= \frac{13 \cdot 8}{14 \cdot 13}
\]
\[
= \frac{8}{14}
\]
\[
= \frac{4}{7}
\]
г) \[
\frac{14400}{324^2 — 36^2} = \frac{14400}{(324 — 36)(324 + 36)}
\]
\[
= \frac{14400}{288 \cdot 360}
\]
\[
= \frac{1440}{288 \cdot 36}
\]
\[
= \frac{288 \cdot 5}{288 \cdot 36}
\]
\[
= \frac{5}{36}
\]
а) \[
\frac{910}{137^{2} — 123^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{910}{(137 — 123)(137 + 123)} = \frac{910}{14 \cdot 260}
\]
\[
= \frac{910}{3640} = \frac{91}{364} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}
\]
Подробный шаг: Применяем формулу разности квадратов \(a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b)\) к знаменателю:
\[
137^{2} — 123^{2} = (137 — 123)(137 + 123)
\]
Вычисляем разность и сумму в скобках:
\[
137 — 123 = 14
\]
\[
137 + 123 = 260
\]
Подставляем найденные значения:
\[
\frac{910}{14 \cdot 260} = \frac{910}{3640}
\]
Сокращаем дробь на 10:
\[
\frac{910}{3640} = \frac{91}{364}
\]
Разложим числитель и знаменатель на множители:
\[
91 = 7 \cdot 13, \quad 364 = 28 \cdot 13 = 4 \cdot 7 \cdot 13
\]
Сокращаем на общий множитель 91:
\[
\frac{91}{364} = \frac{91}{4 \cdot 91} = \frac{1}{4}
\]
Ответ: \(\frac{1}{4}\)
б) \[
\frac{274^{2} — 34^{2}}{960}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(274 — 34)(274 + 34)}{960} = \frac{240 \cdot 308}{960}
\]
\[
= \frac{240 \cdot 308}{240 \cdot 4} = \frac{308}{4} = 77
\]
Подробный шаг: Применяем формулу разности квадратов к числителю:
\[
274^{2} — 34^{2} = (274 — 34)(274 + 34)
\]
Вычисляем разность и сумму:
\[
274 — 34 = 240
\]
\[
274 + 34 = 308
\]
Подставляем в дробь:
\[
\frac{240 \cdot 308}{960}
\]
Замечаем, что \(960 = 240 \cdot 4\), поэтому:
\[
\frac{240 \cdot 308}{240 \cdot 4} = \frac{308}{4}
\]
Выполняем деление:
\[
308 \div 4 = 77
\]
Ответ: \(77\)
в) \[
\frac{53^{2} — 27^{2}}{79^{2} — 51^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(53 — 27)(53 + 27)}{(79 — 51)(79 + 51)} = \frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130}
\]
\[
= \frac{2080}{3640} = \frac{208}{364} = \frac{104}{182} = \frac{52}{91} = \frac{4}{7}
\]
Подробный шаг: Применяем формулу разности квадратов к числителю и знаменателю:
\[
53^{2} — 27^{2} = (53 — 27)(53 + 27)
\]
\[
79^{2} — 51^{2} = (79 — 51)(79 + 51)
\]
Вычисляем разности и суммы:
\[
53 — 27 = 26, \quad 53 + 27 = 80
\]
\[
79 — 51 = 28, \quad 79 + 51 = 130
\]
Подставляем в дробь:
\[
\frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130}
\]
Разложим все числа на множители:
\[
26 = 2 \cdot 13, \quad 80 = 8 \cdot 10 = 2^{4} \cdot 5
\]
\[
28 = 4 \cdot 7 = 2^{2} \cdot 7, \quad 130 = 13 \cdot 10 = 2 \cdot 5 \cdot 13
\]
Подставляем разложения:
\[
\frac{2 \cdot 13 \cdot 2^{4} \cdot 5}{2^{2} \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 13} = \frac{2^{5} \cdot 5 \cdot 13}{2^{3} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13}
\]
Сокращаем общие множители \(2^{3}\), \(5\) и \(13\):
\[
\frac{2^{2}}{7} = \frac{4}{7}
\]
Ответ: \(\frac{4}{7}\)
г) \[
\frac{14400}{324^{2} — 36^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{14400}{(324 — 36)(324 + 36)} = \frac{14400}{288 \cdot 360}
\]
\[
= \frac{14400}{103680} = \frac{1440}{10368} = \frac{144}{1036{,}8} = \frac{5}{36}
\]
Подробный шаг: Применяем формулу разности квадратов к знаменателю:
\[
324^{2} — 36^{2} = (324 — 36)(324 + 36)
\]
Вычисляем разность и сумму:
\[
324 — 36 = 288
\]
\[
324 + 36 = 360
\]
Подставляем в дробь:
\[
\frac{14400}{288 \cdot 360}
\]
Замечаем, что \(14400 = 144 \cdot 100 = 12^{2} \cdot 10^{2}\), а также:
\[
288 = 144 \cdot 2, \quad 360 = 144 \cdot 2{,}5 = 144 \cdot \frac{5}{2}
\]
Но удобнее разложить на множители:
\[
14400 = 144 \cdot 100 = 12^{2} \cdot 10^{2} = (2^{2} \cdot 3)^{2} \cdot (2 \cdot 5)^{2} = 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}
\]
\[
288 = 2^{5} \cdot 3^{2}, \quad 360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5
\]
Тогда знаменатель:
\[
288 \cdot 360 = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 5
\]
Числитель:
\[
14400 = 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}
\]
Сокращаем дробь:
\[
\frac{2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}}{2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 5} = \frac{5}{2^{2} \cdot 3^{2}} = \frac{5}{4 \cdot 9} = \frac{5}{36}
\]
Ответ: \(\frac{5}{36}\)
Итоговые ответы:
а) \(\frac{1}{4}\)
б) \(77\)
в) \(\frac{4}{7}\)
г) \(\frac{5}{36}\)
