Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 177 Мордкович — Подробные Ответы
а) \(\frac{4p^2 — 2p + 1}{8p^3 + 1}\)
б) \(\frac{27a^3 + 8}{2 + 3a}\)
в) \(\frac{9 + 12z + 16z^2}{27 — 64z^3}\)
г) \(\frac{5 + 2m}{125 + 8m^3}\)
а) \[
\frac{4p^{2} — 2p + 1}{8p^{3} + 1} = \frac{4p^{2} — 2p + 1}{(2p + 1)(4p^{2} — 2p + 1)} = \frac{1}{2p + 1}
\]
б) \[
\frac{27a^{3} + 8}{2 + 3a} = \frac{(3a + 2)(9a^{2} — 6a + 4)}{2 + 3a} = 9a^{2} — 6a + 4
\]
в) \[
\frac{9 + 12z + 16z^{2}}{27 — 64z^{3}} = \frac{(3 + 4z)^{2}}{(3 — 4z)(9 + 12z + 16z^{2})} = \frac{1}{3 — 4z}
\]
г) \[
\frac{5 + 2m}{125 + 8m^{3}} = \frac{5 + 2m}{(5 + 2m)(25 — 10m + 4m^{2})} = \frac{1}{25 — 10m + 4m^{2}}
\]
а) \[
\frac{4p^{2} — 2p + 1}{8p^{3} + 1}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{4p^{2} — 2p + 1}{(2p + 1)(4p^{2} — 2p + 1)} = \frac{1}{2p + 1}
\]
Подробный шаг: Распознаём в знаменателе сумму кубов. Применяем формулу \(x^{3} + y^{3} = (x + y)(x^{2} — xy + y^{2})\):
\[
8p^{3} + 1 = (2p)^{3} + 1^{3} = (2p + 1)\big((2p)^{2} — 2p \cdot 1 + 1^{2}\big) = (2p + 1)(4p^{2} — 2p + 1)
\]
Подставляем разложение в дробь:
\[
\frac{4p^{2} — 2p + 1}{8p^{3} + 1} = \frac{4p^{2} — 2p + 1}{(2p + 1)(4p^{2} — 2p + 1)}
\]
Сокращаем общий множитель \((4p^{2} — 2p + 1)\) (при условии \(4p^{2} — 2p + 1 \neq 0\)):
\[
\frac{\cancel{4p^{2} — 2p + 1}}{(2p + 1) \cdot \cancel{(4p^{2} — 2p + 1)}} = \frac{1}{2p + 1}
\]
Ответ: \(\frac{1}{2p + 1}\)
б) \[
\frac{27a^{3} + 8}{2 + 3a}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(3a + 2)(9a^{2} — 6a + 4)}{2 + 3a} = 9a^{2} — 6a + 4
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе сумму кубов:
\[
27a^{3} + 8 = (3a)^{3} + 2^{3} = (3a + 2)\big((3a)^{2} — 3a \cdot 2 + 2^{2}\big) = (3a + 2)(9a^{2} — 6a + 4)
\]
Замечаем, что знаменатель \(2 + 3a = 3a + 2\) (сложение коммутативно).
Подставляем разложение в дробь:
\[
\frac{27a^{3} + 8}{2 + 3a} = \frac{(3a + 2)(9a^{2} — 6a + 4)}{3a + 2}
\]
Сокращаем общий множитель \((3a + 2)\) (при условии \(3a + 2 \neq 0\), то есть \(a \neq -\frac{2}{3}\)):
\[
\frac{\cancel{(3a + 2)} \cdot (9a^{2} — 6a + 4)}{\cancel{3a + 2}} = 9a^{2} — 6a + 4
\]
Ответ: \(9a^{2} — 6a + 4\)
в) \[
\frac{9 + 12z + 16z^{2}}{27 — 64z^{3}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{9 + 12z + 16z^{2}}{(3 — 4z)(9 + 12z + 16z^{2})} = \frac{1}{3 — 4z}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе квадрат суммы:
\[
9 + 12z + 16z^{2} = 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 4z + (4z)^{2} = (3 + 4z)^{2}
\]
Распознаём в знаменателе разность кубов. Применяем формулу \(x^{3} — y^{3} = (x — y)(x^{2} + xy + y^{2})\):
\[
27 — 64z^{3} = 3^{3} — (4z)^{3} = (3 — 4z)\big(3^{2} + 3 \cdot 4z + (4z)^{2}\big) = (3 — 4z)(9 + 12z + 16z^{2})
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{9 + 12z + 16z^{2}}{27 — 64z^{3}} = \frac{9 + 12z + 16z^{2}}{(3 — 4z)(9 + 12z + 16z^{2})}
\]
Сокращаем общий множитель \((9 + 12z + 16z^{2})\) (при условии \(9 + 12z + 16z^{2} \neq 0\)):
\[
\frac{\cancel{9 + 12z + 16z^{2}}}{(3 — 4z) \cdot \cancel{(9 + 12z + 16z^{2})}} = \frac{1}{3 — 4z}
\]
Ответ: \(\frac{1}{3 — 4z}\)
г) \[
\frac{5 + 2m}{125 + 8m^{3}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{5 + 2m}{(5 + 2m)(25 — 10m + 4m^{2})} = \frac{1}{25 — 10m + 4m^{2}}
\]
Подробный шаг: Распознаём в знаменателе сумму кубов:
\[
125 + 8m^{3} = 5^{3} + (2m)^{3} = (5 + 2m)\big(5^{2} — 5 \cdot 2m + (2m)^{2}\big) = (5 + 2m)(25 — 10m + 4m^{2})
\]
Подставляем разложение в дробь:
\[
\frac{5 + 2m}{125 + 8m^{3}} = \frac{5 + 2m}{(5 + 2m)(25 — 10m + 4m^{2})}
\]
Сокращаем общий множитель \((5 + 2m)\) (при условии \(5 + 2m \neq 0\), то есть \(m \neq -\frac{5}{2}\)):
\[
\frac{\cancel{5 + 2m}}{\cancel{(5 + 2m)} \cdot (25 — 10m + 4m^{2})} = \frac{1}{25 — 10m + 4m^{2}}
\]
Ответ: \(\frac{1}{25 — 10m + 4m^{2}}\)
Итоговые ответы:
а) \(\frac{1}{2p + 1}\)
б) \(9a^{2} — 6a + 4\)
в) \(\frac{1}{3 — 4z}\)
г) \(\frac{1}{25 — 10m + 4m^{2}}\)
