Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 178 Мордкович — Подробные Ответы
а) \(\frac{9x^2 — 6x + 1}{9x^2 — 1}\)
б) \(\frac{16a^2 — 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2}\)
в) \(\frac{4m^2 — 9n^2}{9n^2 — 12mn + 4m^2}\)
г) \(\frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 — 36t^2}\)
а) \[
\frac{9x^{2} — 6x + 1}{9x^{2} — 1} = \frac{(3x — 1)^{2}}{(3x — 1)(3x + 1)} = \frac{3x — 1}{3x + 1}
\]
б) \[
\frac{16a^{2} — 25b^{2}}{16a^{2} + 40ab + 25b^{2}} = \frac{(4a — 5b)(4a + 5b)}{(4a + 5b)^{2}} = \frac{4a — 5b}{4a + 5b}
\]
в) \[
\frac{4m^{2} — 9n^{2}}{9n^{2} — 12mn + 4m^{2}} = \frac{(2m — 3n)(2m + 3n)}{(3n — 2m)^{2}} = \frac{2m + 3n}{2m — 3n}
\]
г) \[
\frac{36t^{2} + 12st + s^{2}}{s^{2} — 36t^{2}} = \frac{(6t + s)^{2}}{(s — 6t)(s + 6t)} = \frac{s + 6t}{s — 6t}
\]
а) \[
\frac{9x^{2} — 6x + 1}{9x^{2} — 1}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(3x — 1)^{2}}{(3x — 1)(3x + 1)} = \frac{3x — 1}{3x + 1}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе квадрат разности. Применяем формулу \(a^{2} — 2ab + b^{2} = (a — b)^{2}\):
\[
9x^{2} — 6x + 1 = (3x)^{2} — 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^{2} = (3x — 1)^{2}
\]
Распознаём в знаменателе разность квадратов. Применяем формулу \(a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b)\):
\[
9x^{2} — 1 = (3x)^{2} — 1^{2} = (3x — 1)(3x + 1)
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{9x^{2} — 6x + 1}{9x^{2} — 1} = \frac{(3x — 1)^{2}}{(3x — 1)(3x + 1)}
\]
Сокращаем общий множитель \((3x — 1)\) (при условии \(3x — 1 \neq 0\), то есть \(x \neq \frac{1}{3}\)):
\[
\frac{(3x — 1) \cdot \cancel{(3x — 1)}}{\cancel{(3x — 1)} \cdot (3x + 1)} = \frac{3x — 1}{3x + 1}
\]
Ответ: \(\frac{3x — 1}{3x + 1}\)
б) \[
\frac{16a^{2} — 25b^{2}}{16a^{2} + 40ab + 25b^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(4a — 5b)(4a + 5b)}{(4a + 5b)^{2}} = \frac{4a — 5b}{4a + 5b}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе разность квадратов:
\[
16a^{2} — 25b^{2} = (4a)^{2} — (5b)^{2} = (4a — 5b)(4a + 5b)
\]
Распознаём в знаменателе квадрат суммы. Применяем формулу \(a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}\):
\[
16a^{2} + 40ab + 25b^{2} = (4a)^{2} + 2 \cdot 4a \cdot 5b + (5b)^{2} = (4a + 5b)^{2}
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{16a^{2} — 25b^{2}}{16a^{2} + 40ab + 25b^{2}} = \frac{(4a — 5b)(4a + 5b)}{(4a + 5b)^{2}}
\]
Представляем знаменатель как произведение:
\[
(4a + 5b)^{2} = (4a + 5b)(4a + 5b)
\]
Сокращаем общий множитель \((4a + 5b)\) (при условии \(4a + 5b \neq 0\)):
\[
\frac{(4a — 5b) \cdot \cancel{(4a + 5b)}}{\cancel{(4a + 5b)} \cdot (4a + 5b)} = \frac{4a — 5b}{4a + 5b}
\]
Ответ: \(\frac{4a — 5b}{4a + 5b}\)
в) \[
\frac{4m^{2} — 9n^{2}}{9n^{2} — 12mn + 4m^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(2m — 3n)(2m + 3n)}{(3n — 2m)^{2}} = \frac{(2m — 3n)(2m + 3n)}{(2m — 3n)^{2}} = \frac{2m + 3n}{2m — 3n}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе разность квадратов:
\[
4m^{2} — 9n^{2} = (2m)^{2} — (3n)^{2} = (2m — 3n)(2m + 3n)
\]
Распознаём в знаменателе квадрат разности. Замечаем, что порядок слагаемых можно изменить:
\[
9n^{2} — 12mn + 4m^{2} = 4m^{2} — 12mn + 9n^{2} = (2m)^{2} — 2 \cdot 2m \cdot 3n + (3n)^{2} = (2m — 3n)^{2}
\]
Или, не меняя порядок:
\[
9n^{2} — 12mn + 4m^{2} = (3n)^{2} — 2 \cdot 3n \cdot 2m + (2m)^{2} = (3n — 2m)^{2}
\]
Поскольку \((3n — 2m)^{2} = (-(2m — 3n))^{2} = (2m — 3n)^{2}\), оба представления эквивалентны.
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{4m^{2} — 9n^{2}}{9n^{2} — 12mn + 4m^{2}} = \frac{(2m — 3n)(2m + 3n)}{(2m — 3n)^{2}}
\]
Сокращаем общий множитель \((2m — 3n)\) (при условии \(2m — 3n \neq 0\)):
\[
\frac{\cancel{(2m — 3n)} \cdot (2m + 3n)}{\cancel{(2m — 3n)} \cdot (2m — 3n)} = \frac{2m + 3n}{2m — 3n}
\]
Ответ: \(\frac{2m + 3n}{2m — 3n}\)
г) \[
\frac{36t^{2} + 12st + s^{2}}{s^{2} — 36t^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(6t + s)^{2}}{(s — 6t)(s + 6t)} = \frac{s + 6t}{s — 6t}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе квадрат суммы:
\[
36t^{2} + 12st + s^{2} = s^{2} + 12st + 36t^{2} = s^{2} + 2 \cdot s \cdot 6t + (6t)^{2} = (s + 6t)^{2}
\]
Распознаём в знаменателе разность квадратов:
\[
s^{2} — 36t^{2} = s^{2} — (6t)^{2} = (s — 6t)(s + 6t)
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{36t^{2} + 12st + s^{2}}{s^{2} — 36t^{2}} = \frac{(s + 6t)^{2}}{(s — 6t)(s + 6t)}
\]
Сокращаем общий множитель \((s + 6t)\) (при условии \(s + 6t \neq 0\)):
\[
\frac{(s + 6t) \cdot \cancel{(s + 6t)}}{(s — 6t) \cdot \cancel{(s + 6t)}} = \frac{s + 6t}{s — 6t}
\]
Ответ: \(\frac{s + 6t}{s — 6t}\)
Итоговые ответы:
а) \(\frac{3x — 1}{3x + 1}\)
б) \(\frac{4a — 5b}{4a + 5b}\)
в) \(\frac{2m + 3n}{2m — 3n}\)
г) \(\frac{s + 6t}{s — 6t}\)
