Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 179 Мордкович — Подробные Ответы
а) \(\frac{25x^2 — 20xy + 4y^2}{10xy — 4y^2}\)
б) \(\frac{8s^3 — 27t^3}{12s^3 + 18s^2t + 27st^2}\)
в) \(\frac{18ab^2 — 3b^3}{36a^2 — 12ab + b^2}\)
г) \(\frac{9k^2 + 27kl}{k^3 + 27l^3}\)
а) \[
\frac{25x^{2} — 20xy + 4y^{2}}{10xy — 4y^{2}} = \frac{(5x — 2y)^{2}}{2y(5x — 2y)} = \frac{5x — 2y}{2y}
\]
б) \[
\frac{8s^{3} — 27t^{3}}{12s^{3} + 18s^{2}t + 27t^{2}} = \frac{(2s — 3t)(4s^{2} + 6st + 9t^{2})}{3s(4s^{2} + 6st + 9t^{2})} = \frac{2s — 3t}{3s}
\]
в) \[
\frac{18ab^{2} — 3b^{3}}{36a^{2} — 12ab + b^{2}} = \frac{3b^{2}(6a — b)}{(6a — b)^{2}} = \frac{3b^{2}}{6a — b}
\]
г) \[
\frac{9k^{2} + 27kl}{k^{3} + 27l^{3}} = \frac{9k(k + 3l)}{(k + 3l)(k^{2} — 3kl + 9l^{2})} = \frac{9k}{k^{2} — 3kl + 9l^{2}}
\]
а) \[
\frac{25x^{2} — 20xy + 4y^{2}}{10xy — 4y^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(5x — 2y)^{2}}{2y(5x — 2y)} = \frac{5x — 2y}{2y}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе квадрат разности. Применяем формулу \(a^{2} — 2ab + b^{2} = (a — b)^{2}\):
\[
25x^{2} — 20xy + 4y^{2} = (5x)^{2} — 2 \cdot 5x \cdot 2y + (2y)^{2} = (5x — 2y)^{2}
\]
Выносим общий множитель в знаменателе. Общий множитель \(2y\):
\[
10xy — 4y^{2} = 2y(5x — 2y)
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{25x^{2} — 20xy + 4y^{2}}{10xy — 4y^{2}} = \frac{(5x — 2y)^{2}}{2y(5x — 2y)}
\]
Сокращаем общий множитель \((5x — 2y)\) (при условии \(5x — 2y \neq 0\)):
\[
\frac{(5x — 2y) \cdot \cancel{(5x — 2y)}}{2y \cdot \cancel{(5x — 2y)}} = \frac{5x — 2y}{2y}
\]
Ответ: \(\frac{5x — 2y}{2y}\)
б) \[
\frac{8s^{3} — 27t^{3}}{12s^{3} + 18s^{2}t + 27t^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(2s — 3t)(4s^{2} + 6st + 9t^{2})}{3s(4s^{2} + 6st + 9t^{2})} = \frac{2s — 3t}{3s}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе разность кубов. Применяем формулу \(a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2})\):
\[
8s^{3} — 27t^{3} = (2s)^{3} — (3t)^{3} = (2s — 3t)\big((2s)^{2} + 2s \cdot 3t + (3t)^{2}\big) = (2s — 3t)(4s^{2} + 6st + 9t^{2})
\]
Выносим общий множитель в знаменателе. Общий множитель \(3\):
\[
12s^{3} + 18s^{2}t + 27t^{2} = 3(4s^{3} + 6s^{2}t + 9t^{2})
\]
Но в учебнике, вероятно, опечатка — должно быть \(12s^{2} + 18st + 27t^{2}\) (без куба у \(s\)). Тогда:
\[
12s^{2} + 18st + 27t^{2} = 3(4s^{2} + 6st + 9t^{2})
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{8s^{3} — 27t^{3}}{12s^{2} + 18st + 27t^{2}} = \frac{(2s — 3t)(4s^{2} + 6st + 9t^{2})}{3(4s^{2} + 6st + 9t^{2})}
\]
Сокращаем общий множитель \((4s^{2} + 6st + 9t^{2})\) (при условии \(4s^{2} + 6st + 9t^{2} \neq 0\)):
\[
\frac{(2s — 3t) \cdot \cancel{(4s^{2} + 6st + 9t^{2})}}{3 \cdot \cancel{(4s^{2} + 6st + 9t^{2})}} = \frac{2s — 3t}{3}
\]
Однако в условии указан знаменатель \(12s^{3} + 18s^{2}t + 27t^{2}\). Если предположить, что там опечатка и должно быть \(12s^{2} + 18st + 27t^{2}\), то ответ \(\frac{2s — 3t}{3}\). Но в учебнике указан ответ \(\frac{2s — 3t}{3s}\), значит, вероятно, в знаменателе должно быть \(12s^{3} + 18s^{2}t + 27st^{2}\):
\[
12s^{3} + 18s^{2}t + 27st^{2} = 3s(4s^{2} + 6st + 9t^{2})
\]
Тогда:
\[
\frac{(2s — 3t)(4s^{2} + 6st + 9t^{2})}{3s(4s^{2} + 6st + 9t^{2})} = \frac{2s — 3t}{3s}
\]
Ответ: \(\frac{2s — 3t}{3s}\)
в) \[
\frac{18ab^{2} — 3b^{3}}{36a^{2} — 12ab + b^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{3b^{2}(6a — b)}{(6a — b)^{2}} = \frac{3b^{2}}{6a — b}
\]
Подробный шаг: Выносим общий множитель в числителе. Общий множитель \(3b^{2}\):
\[
18ab^{2} — 3b^{3} = 3b^{2}(6a — b)
\]
Распознаём в знаменателе квадрат разности:
\[
36a^{2} — 12ab + b^{2} = (6a)^{2} — 2 \cdot 6a \cdot b + b^{2} = (6a — b)^{2}
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{18ab^{2} — 3b^{3}}{36a^{2} — 12ab + b^{2}} = \frac{3b^{2}(6a — b)}{(6a — b)^{2}}
\]
Сокращаем общий множитель \((6a — b)\) (при условии \(6a — b \neq 0\)):
\[
\frac{3b^{2} \cdot \cancel{(6a — b)}}{\cancel{(6a — b)} \cdot (6a — b)} = \frac{3b^{2}}{6a — b}
\]
Ответ: \(\frac{3b^{2}}{6a — b}\)
г) \[
\frac{9k^{2} + 27kl}{k^{3} + 27l^{3}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{9k(k + 3l)}{(k + 3l)(k^{2} — 3kl + 9l^{2})} = \frac{9k}{k^{2} — 3kl + 9l^{2}}
\]
Подробный шаг: Выносим общий множитель в числителе. Общий множитель \(9k\):
\[
9k^{2} + 27kl = 9k(k + 3l)
\]
Распознаём в знаменателе сумму кубов. Применяем формулу \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\):
\[
k^{3} + 27l^{3} = k^{3} + (3l)^{3} = (k + 3l)\big(k^{2} — k \cdot 3l + (3l)^{2}\big) = (k + 3l)(k^{2} — 3kl + 9l^{2})
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{9k^{2} + 27kl}{k^{3} + 27l^{3}} = \frac{9k(k + 3l)}{(k + 3l)(k^{2} — 3kl + 9l^{2})}
\]
Сокращаем общий множитель \((k + 3l)\) (при условии \(k + 3l \neq 0\)):
\[
\frac{9k \cdot \cancel{(k + 3l)}}{\cancel{(k + 3l)} \cdot (k^{2} — 3kl + 9l^{2})} = \frac{9k}{k^{2} — 3kl + 9l^{2}}
\]
Ответ: \(\frac{9k}{k^{2} — 3kl + 9l^{2}}\)
Итоговые ответы:
а) \(\frac{5x — 2y}{2y}\)
б) \(\frac{2s — 3t}{3s}\) (при условии, что в знаменателе опечатка и должно быть \(12s^{3} + 18s^{2}t + 27st^{2}\))
в) \(\frac{3b^{2}}{6a — b}\)
г) \(\frac{9k}{k^{2} — 3kl + 9l^{2}}\)
