Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 180 Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \frac{16a^{2} — 8ab + b^{2}}{64a^{3} — b^{3}} \)
б) \( \frac{8p^{3} + 27q^{3}}{4p^{2} + 12pq + 9q^{2}} \)
в) \( \frac{125x^{3} — y^{3}}{25x^{2} — 10xy + y^{2}} \)
г) \( \frac{27n^{3} + 64m^{3}}{9n^{2} + 24mn + 16m^{2}} \)
а) \[
\frac{16a^{2} — 8ab + b^{2}}{64a^{3} — b^{3}} = \frac{(4a — b)^{2}}{(4a — b)(16a^{2} + 4ab + b^{2})} = \frac{4a — b}{16a^{2} + 4ab + b^{2}}
\]
б) \[
\frac{8p^{3} + 27q^{3}}{4p^{2} + 12pq + 9q^{2}} = \frac{(2p + 3q)(4p^{2} — 6pq + 9q^{2})}{(2p + 3q)^{2}} = \frac{4p^{2} — 6pq + 9q^{2}}{2p + 3q}
\]
в) \[
\frac{125x^{3} — y^{3}}{25x^{2} — 10xy + y^{2}} = \frac{(5x — y)(25x^{2} + 5xy + y^{2})}{(5x — y)^{2}} = \frac{25x^{2} + 5xy + y^{2}}{5x — y}
\]
г) \[
\frac{27n^{3} + 64m^{3}}{9n^{2} + 24nm + 16m^{2}} = \frac{(3n + 4m)(9n^{2} — 12nm + 16m^{2})}{(3n + 4m)^{2}} = \frac{9n^{2} — 12nm + 16m^{2}}{3n + 4m}
\]
а) \[
\frac{16a^{2} — 8ab + b^{2}}{64a^{3} — b^{3}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(4a — b)^{2}}{(4a — b)(16a^{2} + 4ab + b^{2})} = \frac{4a — b}{16a^{2} + 4ab + b^{2}}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе квадрат разности. Применяем формулу \(x^{2} — 2xy + y^{2} = (x — y)^{2}\):
\[
16a^{2} — 8ab + b^{2} = (4a)^{2} — 2 \cdot 4a \cdot b + b^{2} = (4a — b)^{2}
\]
Распознаём в знаменателе разность кубов. Применяем формулу \(x^{3} — y^{3} = (x — y)(x^{2} + xy + y^{2})\):
\[
64a^{3} — b^{3} = (4a)^{3} — b^{3} = (4a — b)\big((4a)^{2} + 4a \cdot b + b^{2}\big) = (4a — b)(16a^{2} + 4ab + b^{2})
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{16a^{2} — 8ab + b^{2}}{64a^{3} — b^{3}} = \frac{(4a — b)^{2}}{(4a — b)(16a^{2} + 4ab + b^{2})}
\]
Сокращаем общий множитель \((4a — b)\) (при условии \(4a — b \neq 0\)):
\[
\frac{(4a — b) \cdot \cancel{(4a — b)}}{\cancel{(4a — b)} \cdot (16a^{2} + 4ab + b^{2})} = \frac{4a — b}{16a^{2} + 4ab + b^{2}}
\]
Ответ: \(\frac{4a — b}{16a^{2} + 4ab + b^{2}}\)
б) \[
\frac{8p^{3} + 27q^{3}}{4p^{2} + 12pq + 9q^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(2p + 3q)(4p^{2} — 6pq + 9q^{2})}{(2p + 3q)^{2}} = \frac{4p^{2} — 6pq + 9q^{2}}{2p + 3q}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе сумму кубов. Применяем формулу \(x^{3} + y^{3} = (x + y)(x^{2} — xy + y^{2})\):
\[
8p^{3} + 27q^{3} = (2p)^{3} + (3q)^{3} = (2p + 3q)\big((2p)^{2} — 2p \cdot 3q + (3q)^{2}\big) = (2p + 3q)(4p^{2} — 6pq + 9q^{2})
\]
Распознаём в знаменателе квадрат суммы:
\[
4p^{2} + 12pq + 9q^{2} = (2p)^{2} + 2 \cdot 2p \cdot 3q + (3q)^{2} = (2p + 3q)^{2}
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{8p^{3} + 27q^{3}}{4p^{2} + 12pq + 9q^{2}} = \frac{(2p + 3q)(4p^{2} — 6pq + 9q^{2})}{(2p + 3q)^{2}}
\]
Сокращаем общий множитель \((2p + 3q)\) (при условии \(2p + 3q \neq 0\)):
\[
\frac{\cancel{(2p + 3q)} \cdot (4p^{2} — 6pq + 9q^{2})}{\cancel{(2p + 3q)} \cdot (2p + 3q)} = \frac{4p^{2} — 6pq + 9q^{2}}{2p + 3q}
\]
Ответ: \(\frac{4p^{2} — 6pq + 9q^{2}}{2p + 3q}\)
в) \[
\frac{125x^{3} — y^{3}}{25x^{2} — 10xy + y^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(5x — y)(25x^{2} + 5xy + y^{2})}{(5x — y)^{2}} = \frac{25x^{2} + 5xy + y^{2}}{5x — y}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе разность кубов:
\[
125x^{3} — y^{3} = (5x)^{3} — y^{3} = (5x — y)\big((5x)^{2} + 5x \cdot y + y^{2}\big) = (5x — y)(25x^{2} + 5xy + y^{2})
\]
Распознаём в знаменателе квадрат разности:
\[
25x^{2} — 10xy + y^{2} = (5x)^{2} — 2 \cdot 5x \cdot y + y^{2} = (5x — y)^{2}
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{125x^{3} — y^{3}}{25x^{2} — 10xy + y^{2}} = \frac{(5x — y)(25x^{2} + 5xy + y^{2})}{(5x — y)^{2}}
\]
Сокращаем общий множитель \((5x — y)\) (при условии \(5x — y \neq 0\)):
\[
\frac{\cancel{(5x — y)} \cdot (25x^{2} + 5xy + y^{2})}{\cancel{(5x — y)} \cdot (5x — y)} = \frac{25x^{2} + 5xy + y^{2}}{5x — y}
\]
Ответ: \(\frac{25x^{2} + 5xy + y^{2}}{5x — y}\)
г) \[
\frac{27n^{3} + 64m^{3}}{9n^{2} + 24nm + 16m^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(3n + 4m)(9n^{2} — 12nm + 16m^{2})}{(3n + 4m)^{2}} = \frac{9n^{2} — 12nm + 16m^{2}}{3n + 4m}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе сумму кубов:
\[
27n^{3} + 64m^{3} = (3n)^{3} + (4m)^{3} = (3n + 4m)\big((3n)^{2} — 3n \cdot 4m + (4m)^{2}\big) = (3n + 4m)(9n^{2} — 12nm + 16m^{2})
\]
Распознаём в знаменателе квадрат суммы:
\[
9n^{2} + 24nm + 16m^{2} = (3n)^{2} + 2 \cdot 3n \cdot 4m + (4m)^{2} = (3n + 4m)^{2}
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{27n^{3} + 64m^{3}}{9n^{2} + 24nm + 16m^{2}} = \frac{(3n + 4m)(9n^{2} — 12nm + 16m^{2})}{(3n + 4m)^{2}}
\]
Сокращаем общий множитель \((3n + 4m)\) (при условии \(3n + 4m \neq 0\)):
\[
\frac{\cancel{(3n + 4m)} \cdot (9n^{2} — 12nm + 16m^{2})}{\cancel{(3n + 4m)} \cdot (3n + 4m)} = \frac{9n^{2} — 12nm + 16m^{2}}{3n + 4m}
\]
Ответ: \(\frac{9n^{2} — 12nm + 16m^{2}}{3n + 4m}\)
Итоговые ответы:
а) \(\frac{4a — b}{16a^{2} + 4ab + b^{2}}\)
б) \(\frac{4p^{2} — 6pq + 9q^{2}}{2p + 3q}\)
в) \(\frac{25x^{2} + 5xy + y^{2}}{5x — y}\)
г) \(\frac{9n^{2} — 12nm + 16m^{2}}{3n + 4m}\)
