ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 181 Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \frac{p — t + 2pt — 2t^{2}}{p — t + pt — t^{2}} \)

б) \( \frac{12m + 8n — 3m^{2} — 2mn}{3m^{2} + 2mn — 3m — 2n} \)

в) \( \frac{a — b + 4ab — 4b^{2}}{a — b + ab — b^{2}} \)

г) \( \frac{24k + 16l + 6k^{2} + 4kl}{6k^{2} + 4kl + 6k + 4l} \)

а) \[
\frac{p — t + 2pt — 2t^{2}}{p — t + pt — t^{2}} = \frac{(p — t) + 2t(p — t)}{(p — t) + t(p — t)} = \frac{(p — t)(1 + 2t)}{(p — t)(1 + t)} = \frac{1 + 2t}{1 + t}
\]

б) \[
\frac{12m + 8n — 3m^{2} — 2mn}{3m^{2} + 2mn — 3m — 2n} = \frac{4(3m + 2n) — m(3m + 2n)}{(3m + 2n)(m — 1)} = \frac{(3m + 2n)(4 — m)}{(3m + 2n)(m — 1)} = \frac{4 — m}{m — 1}
\]

в) \[
\frac{a — b + 4ab — 4b^{2}}{a — b + ab — b^{2}} = \frac{(a — b) + 4b(a — b)}{(a — b) + b(a — b)} = \frac{(a — b)(1 + 4b)}{(a — b)(1 + b)} = \frac{1 + 4b}{1 + b}
\]

г) \[
\frac{24k + 16l + 6k^{2} + 4kl}{6k^{2} + 4kl + 6k + 4l} = \frac{6k(k + 4) + 4l(k + 4)}{6k(k + 1) + 4l(k + 1)} = \frac{(6k + 4l)(k + 4)}{(6k + 4l)(k + 1)} = \frac{k + 4}{k + 1}
\]

а) \[
\frac{p — t + 2pt — 2t^{2}}{p — t + pt — t^{2}}
\]

Краткий шаг:
\[
\frac{(p — t) + 2t(p — t)}{(p — t) + t(p — t)} = \frac{(p — t)(1 + 2t)}{(p — t)(1 + t)} = \frac{1 + 2t}{1 + t}
\]

Подробный шаг: Группируем слагаемые в числителе так, чтобы выделить общий множитель:

\[
p — t + 2pt — 2t^{2} = (p — t) + (2pt — 2t^{2})
\]

Из второй группы выносим общий множитель \(2t\):

\[
2pt — 2t^{2} = 2t(p — t)
\]

Получаем:

\[
p — t + 2pt — 2t^{2} = (p — t) + 2t(p — t) = (p — t)(1 + 2t)
\]

Аналогично группируем слагаемые в знаменателе:

\[
p — t + pt — t^{2} = (p — t) + (pt — t^{2})
\]

Из второй группы выносим общий множитель \(t\):

\[
pt — t^{2} = t(p — t)
\]

Получаем:

\[
p — t + pt — t^{2} = (p — t) + t(p — t) = (p — t)(1 + t)
\]

Подставляем разложения в дробь:

\[
\frac{p — t + 2pt — 2t^{2}}{p — t + pt — t^{2}} = \frac{(p — t)(1 + 2t)}{(p — t)(1 + t)}
\]

Сокращаем общий множитель \((p — t)\) (при условии \(p \neq t\)):

\[
\frac{\cancel{(p — t)}(1 + 2t)}{\cancel{(p — t)}(1 + t)} = \frac{1 + 2t}{1 + t}
\]

Ответ: \(\frac{1 + 2t}{1 + t}\)

б) \[
\frac{12m + 8n — 3m^{2} — 2mn}{3m^{2} + 2mn — 3m — 2n}
\]

Краткий шаг:
\[
\frac{4(3m + 2n) — m(3m + 2n)}{(3m + 2n)(m — 1)} = \frac{(3m + 2n)(4 — m)}{(3m + 2n)(m — 1)} = \frac{4 — m}{m — 1}
\]

Подробный шаг: Группируем слагаемые в числителе:

\[
12m + 8n — 3m^{2} — 2mn = (12m + 8n) — (3m^{2} + 2mn)
\]

Из первой группы выносим общий множитель \(4\), из второй — \(m\):

\[
12m + 8n = 4(3m + 2n), \quad 3m^{2} + 2mn = m(3m + 2n)
\]

Получаем:

\[
12m + 8n — 3m^{2} — 2mn = 4(3m + 2n) — m(3m + 2n) = (3m + 2n)(4 — m)
\]

Группируем слагаемые в знаменателе:

\[
3m^{2} + 2mn — 3m — 2n = (3m^{2} + 2mn) — (3m + 2n)
\]

Из первой группы выносим общий множитель \(m\), из второй — \(1\):

\[
3m^{2} + 2mn = m(3m + 2n), \quad 3m + 2n = 1 \cdot (3m + 2n)
\]

Получаем:

\[
3m^{2} + 2mn — 3m — 2n = m(3m + 2n) — 1 \cdot (3m + 2n) = (3m + 2n)(m — 1)
\]

Подставляем разложения в дробь:

\[
\frac{12m + 8n — 3m^{2} — 2mn}{3m^{2} + 2mn — 3m — 2n} = \frac{(3m + 2n)(4 — m)}{(3m + 2n)(m — 1)}
\]

Сокращаем общий множитель \((3m + 2n)\) (при условии \(3m + 2n \neq 0\)):

\[
\frac{\cancel{(3m + 2n)}(4 — m)}{\cancel{(3m + 2n)}(m — 1)} = \frac{4 — m}{m — 1}
\]

Ответ: \(\frac{4 — m}{m — 1}\)

в) \[
\frac{a — b + 4ab — 4b^{2}}{a — b + ab — b^{2}}
\]

Краткий шаг:
\[
\frac{(a — b) + 4b(a — b)}{(a — b) + b(a — b)} = \frac{(a — b)(1 + 4b)}{(a — b)(1 + b)} = \frac{1 + 4b}{1 + b}
\]

Подробный шаг: Группируем слагаемые в числителе:

\[
a — b + 4ab — 4b^{2} = (a — b) + (4ab — 4b^{2})
\]

Из второй группы выносим общий множитель \(4b\):

\[
4ab — 4b^{2} = 4b(a — b)
\]

Получаем:

\[
a — b + 4ab — 4b^{2} = (a — b) + 4b(a — b) = (a — b)(1 + 4b)
\]

Группируем слагаемые в знаменателе:

\[
a — b + ab — b^{2} = (a — b) + (ab — b^{2})
\]

Из второй группы выносим общий множитель \(b\):

\[
ab — b^{2} = b(a — b)
\]

Получаем:

\[
a — b + ab — b^{2} = (a — b) + b(a — b) = (a — b)(1 + b)
\]

Подставляем разложения в дробь:

\[
\frac{a — b + 4ab — 4b^{2}}{a — b + ab — b^{2}} = \frac{(a — b)(1 + 4b)}{(a — b)(1 + b)}
\]

Сокращаем общий множитель \((a — b)\) (при условии \(a \neq b\)):

\[
\frac{\cancel{(a — b)}(1 + 4b)}{\cancel{(a — b)}(1 + b)} = \frac{1 + 4b}{1 + b}
\]

Ответ: \(\frac{1 + 4b}{1 + b}\)

г) \[
\frac{24k + 16l + 6k^{2} + 4kl}{6k^{2} + 4kl + 6k + 4l}
\]

Краткий шаг:
\[
\frac{6k(k + 4) + 4l(k + 4)}{6k(k + 1) + 4l(k + 1)} = \frac{(6k + 4l)(k + 4)}{(6k + 4l)(k + 1)} = \frac{k + 4}{k + 1}
\]

Подробный шаг: Переставляем слагаемые в числителе для удобной группировки:

\[
24k + 16l + 6k^{2} + 4kl = 6k^{2} + 24k + 4kl + 16l
\]

Группируем попарно:

\[
(6k^{2} + 24k) + (4kl + 16l)
\]

Из первой группы выносим общий множитель \(6k\), из второй — \(4l\):

\[
6k^{2} + 24k = 6k(k + 4), \quad 4kl + 16l = 4l(k + 4)
\]

Получаем:

\[
6k^{2} + 24k + 4kl + 16l = 6k(k + 4) + 4l(k + 4) = (6k + 4l)(k + 4)
\]

Переставляем слагаемые в знаменателе:

\[
6k^{2} + 4kl + 6k + 4l = (6k^{2} + 4kl) + (6k + 4l)
\]

Из первой группы выносим общий множитель \(2k\), из второй — \(2\):

\[
6k^{2} + 4kl = 2k(3k + 2l), \quad 6k + 4l = 2(3k + 2l)
\]

Получаем:

\[
6k^{2} + 4kl + 6k + 4l = 2k(3k + 2l) + 2(3k + 2l) = (2k + 2)(3k + 2l) = 2(k + 1)(3k + 2l)
\]

Но удобнее вынести общий множитель \(2\) из обеих групп сразу:

\[
6k^{2} + 4kl = 2k(3k + 2l), \quad 6k + 4l = 2(3k + 2l)
\]

Тогда:

\[
6k^{2} + 4kl + 6k + 4l = 2k(3k + 2l) + 2(3k + 2l) = (2k + 2)(3k + 2l) = 2(k + 1)(3k + 2l)
\]

Однако в числителе у нас \(6k + 4l = 2(3k + 2l)\), поэтому:

\[
(6k + 4l)(k + 4) = 2(3k + 2l)(k + 4)
\]

\[
(6k + 4l)(k + 1) = 2(3k + 2l)(k + 1)
\]

Подставляем разложения в дробь:

\[
\frac{24k + 16l + 6k^{2} + 4kl}{6k^{2} + 4kl + 6k + 4l} = \frac{(6k + 4l)(k + 4)}{(6k + 4l)(k + 1)}
\]

Сокращаем общий множитель \((6k + 4l)\) (при условии \(6k + 4l \neq 0\), то есть \(3k + 2l \neq 0\)):

\[
\frac{\cancel{(6k + 4l)}(k + 4)}{\cancel{(6k + 4l)}(k + 1)} = \frac{k + 4}{k + 1}
\]

Ответ: \(\frac{k + 4}{k + 1}\)

Итоговые ответы:

а) \(\frac{1 + 2t}{1 + t}\)

б) \(\frac{4 — m}{m — 1}\)

в) \(\frac{1 + 4b}{1 + b}\)

г) \(\frac{k + 4}{k + 1}\)