Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 182 Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \frac{p — t + 2pt — 2t^{2}}{1 + 4t + 4t^{2}} \)
б) \( \frac{m^{3} — 1}{4m^{2} + 3mn — 4m — 3n} \)
в) \( \frac{a^{2} — 2ab + b^{2}}{a — b — ab + b^{2}} \)
г) \( \frac{6k + 5l + 6k^{2} + 5kl}{k^{3} + 1} \)
а) \[
\frac{p — t + 2pt — 2t^{2}}{1 + 4t + 4t^{2}}
\]
б) \[
\frac{m^{3} — 1}{4m^{2} + 3mn — 4m — 3n}
\]
в) \[
\frac{a^{2} — 2ab + b^{2}}{a — b — ab + b^{2}}
\]
г) \[
\frac{6k + 5l + 6k^{2} + 5kl}{k^{3} + 1}
\]
а) \[
\frac{p — t + 2pt — 2t^{2}}{1 + 4t + 4t^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(p — t)(1 + 2t)}{(1 + 2t)^{2}} = \frac{p — t}{1 + 2t}
\]
Подробный шаг: Группируем слагаемые в числителе:
\[
p — t + 2pt — 2t^{2} = (p — t) + (2pt — 2t^{2}) = (p — t) + 2t(p — t) = (p — t)(1 + 2t)
\]
Распознаём в знаменателе квадрат суммы:
\[
1 + 4t + 4t^{2} = 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 2t + (2t)^{2} = (1 + 2t)^{2}
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{p — t + 2pt — 2t^{2}}{1 + 4t + 4t^{2}} = \frac{(p — t)(1 + 2t)}{(1 + 2t)^{2}}
\]
Сокращаем общий множитель \((1 + 2t)\) (при условии \(1 + 2t \neq 0\)):
\[
\frac{(p — t) \cdot \cancel{(1 + 2t)}}{\cancel{(1 + 2t)} \cdot (1 + 2t)} = \frac{p — t}{1 + 2t}
\]
Ответ: \(\frac{p — t}{1 + 2t}\)
б) \[
\frac{m^{3} — 1}{4m^{2} + 3mn — 4m — 3n}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(m — 1)(m^{2} + m + 1)}{(m — 1)(4m + 3n)} = \frac{m^{2} + m + 1}{4m + 3n}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе разность кубов:
\[
m^{3} — 1 = m^{3} — 1^{3} = (m — 1)(m^{2} + m \cdot 1 + 1^{2}) = (m — 1)(m^{2} + m + 1)
\]
Группируем слагаемые в знаменателе:
\[
4m^{2} + 3mn — 4m — 3n = (4m^{2} — 4m) + (3mn — 3n) = 4m(m — 1) + 3n(m — 1) = (m — 1)(4m + 3n)
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{m^{3} — 1}{4m^{2} + 3mn — 4m — 3n} = \frac{(m — 1)(m^{2} + m + 1)}{(m — 1)(4m + 3n)}
\]
Сокращаем общий множитель \((m — 1)\) (при условии \(m \neq 1\)):
\[
\frac{\cancel{(m — 1)}(m^{2} + m + 1)}{\cancel{(m — 1)}(4m + 3n)} = \frac{m^{2} + m + 1}{4m + 3n}
\]
Ответ: \(\frac{m^{2} + m + 1}{4m + 3n}\)
в) \[
\frac{a^{2} — 2ab + b^{2}}{a — b — ab + b^{2}}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(a — b)^{2}}{(a — b)(1 — b)} = \frac{a — b}{1 — b}
\]
Подробный шаг: Распознаём в числителе квадрат разности:
\[
a^{2} — 2ab + b^{2} = (a — b)^{2}
\]
Группируем слагаемые в знаменателе:
\[
a — b — ab + b^{2} = (a — b) — (ab — b^{2}) = (a — b) — b(a — b) = (a — b)(1 — b)
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{a^{2} — 2ab + b^{2}}{a — b — ab + b^{2}} = \frac{(a — b)^{2}}{(a — b)(1 — b)}
\]
Сокращаем общий множитель \((a — b)\) (при условии \(a \neq b\)):
\[
\frac{(a — b) \cdot \cancel{(a — b)}}{\cancel{(a — b)} \cdot (1 — b)} = \frac{a — b}{1 — b}
\]
Ответ: \(\frac{a — b}{1 — b}\)
г) \[
\frac{6k + 5l + 6k^{2} + 5kl}{k^{3} + 1}
\]
Краткий шаг:
\[
\frac{(k + 1)(6k + 5l)}{(k + 1)(k^{2} — k + 1)} = \frac{6k + 5l}{k^{2} — k + 1}
\]
Подробный шаг: Перегруппируем слагаемые в числителе для удобной группировки:
\[
6k + 5l + 6k^{2} + 5kl = 6k^{2} + 6k + 5kl + 5l = (6k^{2} + 6k) + (5kl + 5l)
\]
Выносим общие множители из каждой группы:
\[
6k^{2} + 6k = 6k(k + 1), \quad 5kl + 5l = 5l(k + 1)
\]
Получаем:
\[
6k^{2} + 6k + 5kl + 5l = 6k(k + 1) + 5l(k + 1) = (k + 1)(6k + 5l)
\]
Распознаём в знаменателе сумму кубов:
\[
k^{3} + 1 = k^{3} + 1^{3} = (k + 1)(k^{2} — k \cdot 1 + 1^{2}) = (k + 1)(k^{2} — k + 1)
\]
Подставляем разложения в дробь:
\[
\frac{6k + 5l + 6k^{2} + 5kl}{k^{3} + 1} = \frac{(k + 1)(6k + 5l)}{(k + 1)(k^{2} — k + 1)}
\]
Сокращаем общий множитель \((k + 1)\) (при условии \(k \neq -1\)):
\[
\frac{\cancel{(k + 1)}(6k + 5l)}{\cancel{(k + 1)}(k^{2} — k + 1)} = \frac{6k + 5l}{k^{2} — k + 1}
\]
Ответ: \(\frac{6k + 5l}{k^{2} — k + 1}\)
Итоговые ответы:
а) \(\frac{p — t}{1 + 2t}\)
б) \(\frac{m^{2} + m + 1}{4m + 3n}\)
в) \(\frac{a — b}{1 — b}\)
г) \(\frac{6k + 5l}{k^{2} — k + 1}\)
