ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 26 Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях а, b, с график уравнения ах + by + с = 0: а) проходит через начало координат; б) расположен параллельно оси х; в) расположен параллельно оси у; г) совпадает с осями координат?

ax + by + c = 0

а) через начало координат график проходит, когда:
b — любое число, c = 0, a — любое число.

б) график расположен параллельно оси x, когда:
b ≠ 0, a = 0, c — любое число.

в) график расположен параллельно оси y, когда:
a ≠ 0, b = 0, c — любое число.

г) график совпадает с осями координат:
совпадает с осью x: a ≠ 0, b = 0, c = 0;
совпадает с осью y: b ≠ 0, a = 0, c = 0.

Общее уравнение прямой

Уравнение вида
\[
ax + by + c = 0,
\]

где \(a\), \(b\), \(c\) — действительные числа, и хотя бы одно из чисел \(a\) или \(b\) отлично от нуля, задаёт прямую на координатной плоскости. В зависимости от значений коэффициентов эта прямая может проходить через начало координат, быть параллельной осям или даже совпадать с ними.

а) Прямая проходит через начало координат

Начало координат имеет координаты \((0; 0)\). Чтобы график проходил через эту точку, она должна удовлетворять уравнению:
\[
a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = 0.
\]

Таким образом, необходимое и достаточное условие — это \(c = 0\).
При этом коэффициенты \(a\) и \(b\) могут быть любыми (но не одновременно нулевыми, иначе уравнение потеряет смысл).
Например:
— \(2x + 3y = 0\) — проходит через начало координат,
— \(-x + y = 0\) — тоже проходит.

Следовательно, график проходит через начало координат тогда и только тогда, когда \(c = 0\), а \(a\) и \(b\) — любые числа, не равные нулю одновременно.

б) График параллелен оси \(x\)

Прямая, параллельная оси \(x\), имеет постоянную ординату, то есть её уравнение имеет вид \(y = k\), где \(k\) — некоторое число.
Перепишем это в общем виде:
\[
0 \cdot x + 1 \cdot y — k = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0,\ b \ne 0.
\]

Если \(a = 0\), уравнение принимает вид \(by + c = 0\), откуда \(y = -\frac{c}{b}\) — действительно, горизонтальная прямая.
Чтобы уравнение описывало именно прямую (а не пустое множество), необходимо, чтобы \(b \ne 0\).
Коэффициент \(c\) может быть любым — он определяет, на каком уровне расположена прямая (например, при \(c = 0\) получаем ось \(x\) саму по себе).

Итак, график параллелен оси \(x\), когда \(a = 0\), \(b \ne 0\), а \(c\) — любое число.

в) График параллелен оси \(y\)

Аналогично, прямая, параллельная оси \(y\), имеет постоянную абсциссу: \(x = k\).
В общем виде:
\[
1 \cdot x + 0 \cdot y — k = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 0,\ a \ne 0.
\]

При \(b = 0\) уравнение становится \(ax + c = 0\), откуда \(x = -\frac{c}{a}\) — вертикальная прямая.
Для существования прямой требуется \(a \ne 0\).
Коэффициент \(c\) может быть любым — он задаёт положение прямой по горизонтали.

Следовательно, график параллелен оси \(y\), когда \(b = 0\), \(a \ne 0\), а \(c\) — любое число.

г) График совпадает с осями координат

Совпадение с осью \(x\):
Ось \(x\) — это множество точек, для которых \(y = 0\). Уравнение: \(y = 0\), или в общем виде:
\[
0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 = 0.
\]

Здесь \(a = 0\)? Нет — на самом деле, чтобы получить именно \(y = 0\), нужно \(b \ne 0\), но в стандартной форме чаще пишут \(y = 0\) как \(0x + 1y + 0 = 0\), то есть \(a = 0\), \(b \ne 0\), \(c = 0\).