ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 27 Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции у = x². С помощью графика определите: а) значения функции, если значение аргумента равно —1; 0,5; 2,5; б) значения аргумента при значении функции, равном 4; 0; 9; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; -1]; г) значения х, при которых у < 4.

y = x²

а) x = -1, y = 1;
x = 0,5, y = 0,25;
x = 2,5, y = 6,25.

б) y = 4, x = ±2;
y = 0, x = 0;
y = 9, x = ±3.

в) [-2; -1] ⊂ y_наим = 1, y_наиб = 4.

г) y < 4 при x ∈ (-2; 2).

Дано: функция \(y = x^2\)

Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви направлены вверх, вершина находится в начале координат \((0; 0)\). Функция чётная, то есть симметрична относительно оси ординат: \(f(-x) = f(x)\).

а) Найдём значения функции при заданных значениях аргумента

Подставим указанные значения \(x\) в формулу \(y = x^2\):

— При \(x = -1\):
\(y = (-1)^2 = 1\).

— При \(x = 0{,}5\):
\(y = (0{,}5)^2 = 0{,}25\).

— При \(x = 2{,}5\):
\(y = (2{,}5)^2 = 6{,}25\).

Все вычисления подтверждают, что функция принимает положительные значения при любом \(x \ne 0\), и значение зависит только от модуля \(x\), что согласуется с чётностью функции.

б) Найдём значения аргумента, при которых функция принимает заданные значения

Решим уравнения вида \(x^2 = y_0\).

— При \(y = 4\):
\(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm \sqrt{4} = \pm 2\).

— При \(y = 0\):
\(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\).

— При \(y = 9\):
\(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3\).

Это демонстрирует, что для любого положительного значения \(y\) существует два противоположных значения \(x\), за исключением случая \(y = 0\), когда решение единственно.

в) Найдём наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке \([-2; -1]\)

На этом отрезке функция \(y = x^2\) **убывает**, так как он расположен целиком слева от вершины параболы (\(x = 0\)).
Следовательно:
— Наибольшее значение достигается в левом конце: при \(x = -2\), \(y = (-2)^2 = 4\).
— Наименьшее значение достигается в правом конце: при \(x = -1\), \(y = (-1)^2 = 1\).

Таким образом, на отрезке \([-2; -1]\) выполняется:
\(y_{\text{наим}} = 1\), \(y_{\text{наиб}} = 4\).

Запись в условии «\([-2; -1] \subset y_{\text{наим}} = 1, y_{\text{наиб}} = 4\)» следует понимать как указание на экстремальные значения функции именно на этом промежутке.

г) Решим неравенство \(y < 4\)

Неравенство \(x^2 < 4\) равносильно двойному неравенству:
\[
-2 < x < 2.
\]

Графически это означает, что часть параболы, лежащая ниже горизонтальной прямой \(y = 4\), соответствует значениям \(x\) между \(-2\) и \(2\), не включая концы (так как неравенство строгое).

Следовательно, \(y < 4\) при \(x \in (-2; 2)\).