ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 29 Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции у = x². С помощью графика определите: а) значения функции, если х ≥ 1; б) значения аргумента, если 1 < у < 4; в) наименьшее значение функции; г) промежутки возрастания и убывания функции.

y = x²

а) x ≥ 1 при y ≥ 1.
б) 1 < y ≤ 4 при x ∈ (-2; -1) и (1; 2).
в) y_наим = 0.
г) функция возрастает при x ∈ [0; +∞) и убывает при x ∈ (-∞; 0].

Дано: функция \(y = x^2\)

Это классическая квадратичная функция, график которой — парабола, ветви направлены вверх, вершина находится в начале координат \((0; 0)\). Функция чётная (\(f(-x) = f(x)\)), непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой. Область определения — все действительные числа, область значений — \([0; +\infty)\).

а) Условие: \(x \geq 1\) при \(y \geq 1\)

Рассмотрим неравенство \(y \geq 1\), то есть \(x^2 \geq 1\).
Решая его, получаем:
\[
x^2 \geq 1 \quad \Rightarrow \quad |x| \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq -1 \ \text{или} \ x \geq 1.
\]

Однако в условии речь идёт только о части \(x \geq 1\). Это означает, что **если** мы ограничиваемся правой половиной графика (где \(x \geq 0\)), то условие \(y \geq 1\) действительно эквивалентно \(x \geq 1\).
Таким образом, утверждение следует понимать как:
> На промежутке \(x \geq 0\), неравенство \(y \geq 1\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x \geq 1\).

Это связано с тем, что на \([0; +\infty)\) функция возрастает, поэтому большему \(x\) соответствует большее \(y\).

б) Условие: \(1 < y \leq 4\) при \(x \in (-2; -1) \cup (1; 2)\)

Рассмотрим двойное неравенство:
\[
1 < x^2 \leq 4.
\]

Решим его по частям:

— \(x^2 > 1 \Rightarrow |x| > 1 \Rightarrow x < -1\) или \(x > 1\),
— \(x^2 \leq 4 \Rightarrow |x| \leq 2 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2\).

Пересечение этих условий даёт:
\[
x \in [-2; -1) \cup (1; 2].
\]

Однако в ответе указаны открытые интервалы: \((-2; -1)\) и \((1; 2)\). Это связано с тем, что:
— При \(x = -2\) и \(x = 2\): \(y = 4\), что допускается (так как \(y \leq 4\)),
— При \(x = -1\) и \(x = 1\): \(y = 1\), но неравенство строгое: \(y > 1\), поэтому эти точки не входят.

Следовательно, корректный ответ должен быть:
\[
x \in [-2; -1) \cup (1; 2].
\]

Возможно, в оригинале скобки упрощены или имеется в виду открытость по причине строгого неравенства снизу. Однако если требуется точность, то левые концы \(-2\) и \(2\) должны быть включены. Тем не менее, исходный текст гласит:
> \(1 < y \leq 4\) при \(x \in (-2; -1)\) и \((1; 2)\),

что отражает основную идею: значения \(y\) между 1 и 4 достигаются на двух симметричных участках графика — слева и справа от оси ординат.

в) Наименьшее значение функции: \(y_{\text{наим}} = 0\)

Поскольку \(x^2 \geq 0\) для любого действительного \(x\), и равенство достигается при \(x = 0\), функция имеет глобальный минимум в начале координат.
Наибольшего значения нет, так как при \(|x| \to \infty\) значение \(y\) неограниченно растёт.

Таким образом, \(y_{\text{наим}} = 0\), и это значение достигается в единственной точке \(x = 0\).

г) Монотонность функции

Функция \(y = x^2\):
— убывает на промежутке \((-\infty; 0]\): чем ближе \(x\) к нулю слева, тем меньше значение \(y\),
— возрастает на промежутке \([0; +\infty)\): чем дальше \(x\) от нуля направо, тем больше \(y\).

Точка \(x = 0\) является точкой минимума и разделяет два участка монотонности.

Это поведение легко объясняется производной: \(y’ = 2x\), которая отрицательна при \(x < 0\), положительна при \(x > 0\), и равна нулю при \(x = 0\).