ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 31 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = x²: а) на отрезке [0; 2]; б) на полуинтервале (-1,2; 3]; в) на луче (-бесконечность; -2]; г) на луче [-1; +бесконечность).

а) На отрезке \( [0; 2] \)
Функция \( y = x^2 \) возрастает на отрезке \( [0; 2] \).
Наименьшее значение достигается при \( x = 0 \).
\( y(0) = 0^2 = 0 \)
Наибольшее значение достигается при \( x = 2 \).
\( y(2) = 2^2 = 4 \)

Ответ: Наименьшее: 0, Наибольшее: 4

б) На полуинтервале \( (-1.2; 3] \)
Вершина параболы \( y = x^2 \) находится в точке \( x = 0 \).
Точка \( x = 0 \) принадлежит полуинтервалу \( (-1.2; 3] \).
Следовательно, наименьшее значение функции достигается при \( x = 0 \).
\( y(0) = 0^2 = 0 \)
Для нахождения наибольшего значения сравним значения функции на концах интервала.
\( y(-1.2) = (-1.2)^2 = 1.44 \)
\( y(3) = 3^2 = 9 \)
Так как \( x = -1.2 \) не входит в полуинтервал, значение \( y(-1.2) \) не является наибольшим.
Наибольшее значение достигается при \( x = 3 \).
\( y(3) = 9 \)

Ответ: Наименьшее: 0, Наибольшее: 9

в) На луче \( (-\infty; -2] \)
На луче \( (-\infty; -2] \) функция \( y = x^2 \) монотонно убывает.
Наименьшее значение достигается на правом конце луча.
\( y(-2) = (-2)^2 = 4 \)
Наибольшего значения не существует, так как при \( x \to -\infty \) значение функции \( y \to +\infty \).

Ответ: Наименьшее: 4, Наибольшего значения не существует

г) На луче \( [-1; +\infty) \)
Вершина параболы \( y = x^2 \) находится в точке \( x = 0 \).
Точка \( x = 0 \) принадлежит лучу \( [-1; +\infty) \).
Следовательно, наименьшее значение функции достигается при \( x = 0 \).
\( y(0) = 0^2 = 0 \)
Наибольшего значения не существует, так как при \( x \to +\infty \) значение функции \( y \to +\infty \).

Ответ: Наименьшее: 0, Наибольшего значения не существует

Условие: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(у = х^2\) на заданных промежутках:

а) на отрезке \([0; 2]\);

б) на полуинтервале \((-1.2; 3]\);

в) на луче \((-\infty; -2]\);

г) на луче \([-1; +\infty)\).

Решение:
Функция \(у = х^2\) является параболой, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \((0, 0)\).
Наименьшее значение функции \(у = х^2\) равно \(0\) и достигается при \(х = 0\).
Функция убывает на промежутке \((-\infty; 0]\) и возрастает на промежутке \([0; +\infty)\).

а) На отрезке \([0; 2]\)
Промежуток \([0; 2]\) находится справа от вершины параболы, где функция возрастает.
Наименьшее значение функции достигается в левой точке отрезка:
\(y_{min} = y(0) = 0^2 = 0\)
Наибольшее значение функции достигается в правой точке отрезка:
\(y_{max} = y(2) = 2^2 = 4\)

б) На полуинтервале \((-1.2; 3]\)
Промежуток \((-1.2; 3]\) содержит вершину параболы \(x=0\).
Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы:
\(y_{min} = y(0) = 0^2 = 0\)
Для нахождения наибольшего значения сравним значения функции на концах промежутка, учитывая, что \(x=-1.2\) не входит в промежуток, но его значение может быть близко к максимальному, если оно больше, чем \(y(3)\).
\(y(-1.2) = (-1.2)^2 = 1.44\)
\(y(3) = 3^2 = 9\)
Так как \(y(3) = 9\) и \(x=3\) входит в промежуток, а \(y(x)\) для \(x \in (-1.2, 3]\) не превышает \(9\), наибольшее значение равно \(9\).
\(y_{max} = y(3) = 9\)

в) На луче \((-\infty; -2]\)
Промежуток \((-\infty; -2]\) находится слева от вершины параболы, где функция убывает.
Наименьшее значение функции достигается в правой точке луча:
\(y_{min} = y(-2) = (-2)^2 = 4\)
Поскольку \(x\) стремится к \(-\infty\), значение функции \(y = x^2\) стремится к \(+\infty\).
Следовательно, наибольшего значения на этом луче не существует.

г) На луче \([-1; +\infty)\)
Промежуток \([-1; +\infty)\) содержит вершину параболы \(x=0\).
Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы:
\(y_{min} = y(0) = 0^2 = 0\)
Поскольку \(x\) стремится к \(+\infty\), значение функции \(y = x^2\) стремится к \(+\infty\).
Следовательно, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответы:
а) Наименьшее значение: 0, Наибольшее значение: 4
б) Наименьшее значение: 0, Наибольшее значение: 9
в) Наименьшее значение: 4, Наибольшего значения нет
г) Наименьшее значение: 0, Наибольшего значения нет