ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 32 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции У = -x²: а) на отрезке [-2; 1]; б) на интервале (-3; 1); в) на полуинтервале (0,3; 3]; г) на луче (-∞ ; -1].

а) на отрезке \( [-2; 1] \)
\( У = -х^2 \)
\( У’ = -2х \)
\( -2х = 0 \)
\( х = 0 \)
\( х = 0 \in [-2; 1] \)
\( У(0) = -(0)^2 = 0 \)
\( У(-2) = -(-2)^2 = -4 \)
\( У(1) = -(1)^2 = -1 \)

Ответ: \( \text{Наибольшее: } 0, \text{ Наименьшее: } -4 \)

б) на интервале \( (-3; 1) \)
\( У = -х^2 \)
\( У’ = -2х \)
\( -2х = 0 \)
\( х = 0 \)
\( х = 0 \in (-3; 1) \)
\( У(0) = -(0)^2 = 0 \)
\( \lim_{x \to -3^+} У(х) = -(-3)^2 = -9 \)
\( \lim_{x \to 1^-} У(х) = -(1)^2 = -1 \)

Ответ: \( \text{Наибольшее: } 0, \text{ Наименьшее: не существует} \)

в) на полуинтервале \( (0.3; 3] \)
\( У = -х^2 \)
\( У’ = -2х \)
\( -2х = 0 \)
\( х = 0 \)
\( х = 0 \notin (0.3; 3] \)
\( У'(х) < 0 \text{ для } х \in (0.3; 3] \)
\( У(3) = -(3)^2 = -9 \)
\( \lim_{x \to 0.3^+} У(х) = -(0.3)^2 = -0.09 \)

Ответ: \( \text{Наибольшее: не существует, Наименьшее: } -9 \)

г) на луче \( (-\infty; -1] \)
\( У = -х^2 \)
\( У’ = -2х \)
\( -2х = 0 \)
\( х = 0 \)
\( х = 0 \notin (-\infty; -1] \)
\( У'(х) > 0 \text{ для } х \in (-\infty; -1] \)
\( У(-1) = -(-1)^2 = -1 \)
\( \lim_{x \to -\infty} У(х) = -\infty \)

Ответ: \( \text{Наибольшее: } -1, \text{ Наименьшее: не существует} \)

Условие: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( У = -x^2 \) на заданных промежутках:

а) на отрезке \( [-2; 1] \);

б) на интервале \( (-3; 1) \);

в) на полуинтервале \( (0,3; 3] \);

г) на луче \( (-\infty; -1] \).

Решение:
Функция \( У = -x^2 \) представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке \( (0, 0) \). В этой точке функция достигает своего глобального максимума, равного \( 0 \).

а) На отрезке \( [-2; 1] \)
Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри отрезка.
Вершина параболы \( x = 0 \) принадлежит отрезку \( [-2; 1] \).
Значение функции в вершине:
\( У(0) = -(0)^2 = 0 \)
Значения функции на концах отрезка:
\( У(-2) = -(-2)^2 = -4 \)
\( У(1) = -(1)^2 = -1 \)
Наибольшее значение функции на отрезке \( [-2; 1] \) равно \( 0 \).
Наименьшее значение функции на отрезке \( [-2; 1] \) равно \( -4 \).

б) На интервале \( (-3; 1) \)
Вершина параболы \( x = 0 \) принадлежит интервалу \( (-3; 1) \).
Значение функции в вершине:
\( У(0) = -(0)^2 = 0 \)
Это наибольшее значение функции на интервале.
Поскольку интервал открытый, функция не достигает значений на его границах.
При \( x \to -3^+ \), \( У(x) \to -(-3)^2 = -9 \).
При \( x \to 1^- \), \( У(x) \to -(1)^2 = -1 \).
Так как \( -9 \) является нижней границей значений функции на этом интервале, но не достигается, наименьшего значения на интервале \( (-3; 1) \) не существует.

в) На полуинтервале \( (0,3; 3] \)
На промежутке \( x > 0 \) функция \( У = -x^2 \) является строго убывающей.
Полуинтервал \( (0,3; 3] \) находится в области \( x > 0 \).
Наибольшее значение: Поскольку функция убывает, наибольшее значение будет стремиться к значению на левой границе, но не будет достигнуто, так как интервал открыт слева.
При \( x \to 0,3^+ \), \( У(x) \to -(0,3)^2 = -0,09 \).
Следовательно, наибольшего значения на полуинтервале \( (0,3; 3] \) не существует.
Наименьшее значение: Поскольку функция убывает, наименьшее значение будет достигнуто на правой границе, так как интервал закрыт справа.
\( У(3) = -(3)^2 = -9 \)
Наименьшее значение функции на полуинтервале \( (0,3; 3] \) равно \( -9 \).

г) На луче \( (-\infty; -1] \)
На промежутке \( x < 0 \) функция \( У = -x^2 \) является строго возрастающей.
Луч \( (-\infty; -1] \) находится в области \( x < 0 \).
Наибольшее значение: Поскольку функция возрастает, наибольшее значение будет достигнуто на правой границе, так как луч закрыт справа.
\( У(-1) = -(-1)^2 = -1 \)
Наибольшее значение функции на луче \( (-\infty; -1] \) равно \( -1 \).
Наименьшее значение: Поскольку \( x \to -\infty \), \( У(x) = -x^2 \to -\infty \).
Следовательно, наименьшего значения на луче \( (-\infty; -1] \) не существует.

Ответы:
а) Наибольшее значение: \( 0 \), Наименьшее значение: \( -4 \)
б) Наибольшее значение: \( 0 \), Наименьшего значения не существует
в) Наибольшего значения не существует, Наименьшее значение: \( -9 \)
г) Наибольшее значение: \( -1 \), Наименьшего значения не существует