ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 38 Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции у = f(x), где f(x) = система -2х — 3, если -4 ≤ х ≤ О, x², если 0 < х < 0 3. С помощью графика найдите: а) область определения функции; б) множество значений функции; в) значение х, при котором функция претерпевает разрьн г) промежутки возрастания и убывания функции.

\( f(x) = \begin{cases} -2x — 3, & \text{если } -4 \le x \le 0 \\ x^2, & \text{если } 0 < x < 3 \end{cases} \)

а) область определения функции
\( D(f) = [-4, 0] \cup (0, 3) \)
\( D(f) = [-4, 3) \)

Ответ: \( [-4, 3) \)

б) множество значений функции
Для \( -4 \le x \le 0 \):
\( f(-4) = -2(-4) — 3 = 8 — 3 = 5 \)
\( f(0) = -2(0) — 3 = -3 \)
Множество значений для первой части: \( [-3, 5] \)
Для \( 0 < x < 3 \):
При \( x \to 0^+ \), \( f(x) \to 0^2 = 0 \)
При \( x \to 3^- \), \( f(x) \to 3^2 = 9 \)
Множество значений для второй части: \( (0, 9) \)
Объединение множеств значений: \( [-3, 5] \cup (0, 9) = [-3, 9) \)

Ответ: \( [-3, 9) \)

в) значение х, при котором функция претерпевает разрыв
Рассмотрим точку \( x = 0 \).
Значение функции в точке \( x = 0 \): \( f(0) = -2(0) — 3 = -3 \)
Предел функции слева от \( x = 0 \): \( \lim_{x \to 0^-} (-2x — 3) = -3 \)
Предел функции справа от \( x = 0 \): \( \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0 \)
Так как \( \lim_{x \to 0^-} f(x) \ne \lim_{x \to 0^+} f(x) \), функция имеет разрыв в точке \( x = 0 \).

Ответ: \( 0 \)

г) промежутки возрастания и убывания функции
Для \( -4 \le x \le 0 \):
\( f(x) = -2x — 3 \)
\( f'(x) = -2 \)
Так как \( f'(x) < 0 \), функция убывает на \( [-4, 0] \).
Для \( 0 < x < 3 \):
\( f(x) = x^2 \)
\( f'(x) = 2x \)
Так как для \( x \in (0, 3) \), \( f'(x) > 0 \), функция возрастает на \( (0, 3) \).

Ответ: Убывает на \( [-4, 0] \), возрастает на \( (0, 3) \)

Условие: Постройте график функции \(у = f(x)\), где \( f(x) = \begin{cases} -2x — 3, & \text{если } -4 \le x \le 0 \\ x^2, & \text{если } 0 < x < 3 \end{cases} \). С помощью графика найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) значение \(x\), при котором функция претерпевает разрыв;

г) промежутки возрастания и убывания функции.

Решение:
Построим график функции \( f(x) \), которая задана кусочно.

Первая часть функции: \( y = -2x — 3 \) для \( -4 \le x \le 0 \).
Это линейная функция, график которой является отрезком прямой.
Найдем значения функции на концах интервала:
При \( x = -4 \): \( y = -2(-4) — 3 = 8 — 3 = 5 \). Точка \( (-4, 5) \).
При \( x = 0 \): \( y = -2(0) — 3 = -3 \). Точка \( (0, -3) \).
Обе точки включены в график, образуя отрезок, соединяющий \( (-4, 5) \) и \( (0, -3) \).

Вторая часть функции: \( y = x^2 \) для \( 0 < x < 3 \).
Это квадратичная функция, график которой является частью параболы.
Найдем значения функции на концах интервала (эти точки не включены в график, но показывают границы):
При \( x = 0 \): \( y = 0^2 = 0 \). Точка \( (0, 0) \).
При \( x = 3 \): \( y = 3^2 = 9 \). Точка \( (3, 9) \).
График этой части начинается от точки \( (0, 0) \) (выколотая точка) и заканчивается в точке \( (3, 9) \) (выколотая точка), представляя собой дугу параболы.

Теперь, используя описание графика, найдем требуемые характеристики функции.

а) Область определения функции:
Область определения функции \( D(f) \) — это объединение интервалов, на которых задана функция.
Для первой части: \( [-4, 0] \).
Для второй части: \( (0, 3) \).
Объединяя эти интервалы, получаем: \( D(f) = [-4, 0] \cup (0, 3) = [-4, 3) \).

б) Множество значений функции:
Для первой части \( y = -2x — 3 \) на \( [-4, 0] \):
Функция убывает на этом интервале. Минимальное значение при \( x = 0 \) равно \( -3 \). Максимальное значение при \( x = -4 \) равно \( 5 \).
Множество значений для этой части: \( [-3, 5] \).
Для второй части \( y = x^2 \) на \( (0, 3) \):
Функция возрастает на этом интервале. Значения изменяются от \( 0^2 = 0 \) (не включая) до \( 3^2 = 9 \) (не включая).
Множество значений для этой части: \( (0, 9) \).
Объединяя эти множества значений: \( E(f) = [-3, 5] \cup (0, 9) \).
Поскольку интервал \( (0, 5] \) полностью содержится в \( [-3, 5] \), а интервал \( (5, 9) \) добавляется из второго множества, то объединение будет \( [-3, 9) \).

в) Значение \(x\), при котором функция претерпевает разрыв:
Рассмотрим точку «стыка» интервалов, то есть \( x = 0 \).
Значение функции в точке \( x = 0 \): \( f(0) = -2(0) — 3 = -3 \).
Предел функции слева при \( x \to 0 \): \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x — 3) = -2(0) — 3 = -3 \).
Предел функции справа при \( x \to 0 \): \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2) = 0^2 = 0 \).
Так как левый предел \( (-3) \) не равен правому пределу \( (0) \), функция имеет разрыв в точке \( x = 0 \).

г) Промежутки возрастания и убывания функции:
Для первой части \( y = -2x — 3 \) на \( [-4, 0] \):
Коэффициент при \( x \) равен \( -2 \), что меньше нуля. Следовательно, функция убывает на интервале \( [-4, 0] \).
Для второй части \( y = x^2 \) на \( (0, 3) \):
Производная функции \( y’ = 2x \). На интервале \( (0, 3) \), \( 2x > 0 \). Следовательно, функция возрастает на интервале \( (0, 3) \).

Ответы:
а) Область определения функции: \( [-4, 3) \)
б) Множество значений функции: \( [-3, 9) \)
в) Функция претерпевает разрыв при \( x = 0 \)
г) Промежутки убывания: \( [-4, 0] \); Промежутки возрастания: \( (0, 3) \)