ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 45 Мордкович — Подробные Ответы

Даны функции у = f(x) и у = g(x), где f(x) = -x², g(х) = 3х — 10. При каких значениях х выполняется равенство: a) f(x + 2) = g(x + 2); б) f(1 — х) = g(1:x²):3)?

Пусть \( f(x) = -x^2 \), \( g(x) = 3x — 10 \).

а) Решите уравнение \( f(x + 2) = g(x + 2) \):

\[
-(x + 2)^2 = 3(x + 2) — 10
\]

\[
— (x^2 + 4x + 4) = 3x + 6 — 10
\]

\[
— x^2 — 4x — 4 = 3x — 4
\]

\[
— x^2 — 4x — 3x = -4 + 4
\]

\[
— x^2 — 7x = 0
\]

\[
— x(x + 7) = 0
\]

Ответ: \( x = 0 \) или \( x = -7 \).

б) Решите уравнение \( f(1 — x) = g\!\left( \frac{1 — x^2}{3} \right) \):

\[
— (1 — x)^2 = 3 \cdot \frac{1 — x^2}{3} — 10
\]

\[
— (1 — 2x + x^2) = (1 — x^2) — 10
\]

\[
-1 + 2x — x^2 = 1 — x^2 — 10
\]

\[
2x = -9 + 1
\]

\[
2x = -8
\]

\[
x = -4
\]

Ответ: \( x = -4 \).

Дано:
Функции
\[
f(x) = -x^2, \quad g(x) = 3x — 10.
\]

Нужно найти значения \(x\), при которых выполняются заданные равенства.

а) Решите уравнение \(f(x + 2) = g(x + 2)\)

Шаг 1. Подстановка в функции.
Вычислим левую часть:
\[
f(x + 2) = -(x + 2)^2.
\]

Раскроем квадрат:
\[
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4,
\]

поэтому
\[
f(x + 2) = -x^2 — 4x — 4.
\]

Вычислим правую часть:
\[
g(x + 2) = 3(x + 2) — 10 = 3x + 6 — 10 = 3x — 4.
\]

Шаг 2. Составим уравнение:
\[
-x^2 — 4x — 4 = 3x — 4.
\]

Шаг 3. Перенос всех членов в одну сторону
Перенесём всё в левую часть:
\[
-x^2 — 4x — 4 — 3x + 4 = 0.
\]

Упростим:
\[
-x^2 — 7x = 0.
\]

Шаг 4. Разложение на множители:
Вынесем общий множитель \(-x\):
\[
— x (x + 7) = 0.
\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\[
x = 0 \quad \text{или} \quad x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7.
\]

Шаг 5. Проверка:
— При \(x = 0\):
\(f(0 + 2) = f(2) = -4\),
\(g(0 + 2) = g(2) = 6 — 10 = -4\) — верно.
— При \(x = -7\):
\(f(-7 + 2) = f(-5) = -25\),
\(g(-7 + 2) = g(-5) = -15 — 10 = -25\) — верно.

Ответ: уравнение выполняется при \(x = 0\) и \(x = -7\).

б) Решите уравнение \(f(1 — x) = g\!\left( \frac{1 — x^2}{3} \right)\)

Шаг 1. Подстановка в функции.
Левая часть:
\[
f(1 — x) = — (1 — x)^2.
\]

Раскроем скобки:
\[
(1 — x)^2 = 1 — 2x + x^2,
\]

поэтому
\[
f(1 — x) = -1 + 2x — x^2.
\]

Правая часть:
\[
g\!\left( \frac{1 — x^2}{3} \right) = 3 \cdot \frac{1 — x^2}{3} — 10 = (1 — x^2) — 10 = -x^2 — 9.
\]

Шаг 2. Составим уравнение:
\[
-1 + 2x — x^2 = -x^2 — 9.
\]

Шаг 3. Упрощение.
Прибавим \(x^2\) к обеим частям — квадратичные члены сокращаются:
\[
-1 + 2x = -9.
\]

Перенесём \(-1\) вправо:
\[
2x = -9 + 1 = -8.
\]

Разделим на 2:
\[
x = -4.
\]

Шаг 4. Проверка:
— Левая часть: \(f(1 — (-4)) = f(5) = -25\).
— Правая часть:
\[
g\!\left( \frac{1 — (-4)^2}{3} \right) = g\!\left( \frac{1 — 16}{3} \right) = g\!\left( \frac{-15}{3} \right) = g(-5) = 3 \cdot (-5) — 10 = -15 — 10 = -25.
\]

Значения совпадают.

Ответ: уравнение выполняется при \(x = -4\).