ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 46 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(х), где f(x) = система х + 6, если х ≤ -2, x², если -2 < х ≤ 2. Построив график функции у = f(х), определите, при каких значениях р уравнение f(х) = р: а) имеет два корня; б) имеет один корень; в) имеет три корня; г) не имеет корней.

а)
\( f(x) = \begin{cases} x + 6, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 2 \end{cases} \)
График функции состоит из двух частей:
1. Прямая \( y = x + 6 \) для \( x \le -2 \). При \( x = -2 \), \( y = -2 + 6 = 4 \). При \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \).
2. Парабола \( y = x^2 \) для \( -2 < x \le 2 \). При \( x = -2 \), \( y = (-2)^2 = 4 \). При \( x = 2 \), \( y = 2^2 = 4 \). Вершина параболы находится в точке (0, 0).

Рассмотрим горизонтальные линии \( y = p \) и их пересечения с графиком функции.

а) Уравнение \( f(x) = p \) имеет два корня, когда горизонтальная линия \( y = p \) пересекает график функции в двух точках.
Это происходит, когда \( p > 4 \) (пересекает прямую и параболу) или когда \( 0 < p < 4 \) (пересекает прямую и параболу).
Однако, нужно учесть, что для \( x \le -2 \), максимальное значение \( y \) равно 4. Для \( -2 < x \le 2 \), минимальное значение \( y \) равно 0, а максимальное равно 4.
Если \( p > 4 \), линия \( y = p \) пересекает только часть параболы \( y = x^2 \) для \( x > 2 \), но эта часть графика не входит в определение функции.
Если \( p = 4 \), линия \( y = 4 \) пересекает прямую в точке \( x = -2 \) и параболу в точке \( x = 2 \). Это два корня.
Если \( 0 < p < 4 \), линия \( y = p \) пересекает прямую \( y = x + 6 \) (так как \( x+6 = p > x = p-6 \), и если \( 0 < p < 4 \), то \( -6 < p-6 < -2 \), что удовлетворяет условию \( x \le -2 \)) и параболу \( y = x^2 \) (так как \( x^2 = p > x = \pm \sqrt{p} \), и если \( 0 < p < 4 \), то \( 0 < \sqrt{p} < 2 \) и \( -2 < -\sqrt{p} < 0 \), что удовлетворяет условию \( -2 < x \le 2 \)). Таким образом, при \( 0 < p < 4 \) имеем три корня.

Пересмотрим условия для двух корней.
Линия \( y = p \) имеет два пересечения, когда:
1. \( p = 4 \). Пересекает прямую в \( x = -2 \) и параболу в \( x = 2 \). Два корня.
2. \( p < 0 \). Пересекает прямую \( y = x + 6 \) (так как \( x = p — 6 \), и если \( p < 0 \), то \( x < -6 \), что удовлетворяет \( x \le -2 \)) и не пересекает параболу \( y = x^2 \) в пределах \( -2 < x \le 2 \). Один корень.

б) Уравнение \( f(x) = p \) имеет один корень, когда горизонтальная линия \( y = p \) пересекает график функции в одной точке.
Это происходит, когда \( p < 0 \) (пересекает только прямую) или когда \( p = 0 \) (пересекает параболу в \( x = 0 \)).
Если \( p = 0 \), то \( x^2 = 0 > x = 0 \). \( x = 0 \) находится в интервале \( -2 < x \le 2 \). Также, \( x + 6 = 0 > x = -6 \). \( x = -6 \) находится в интервале \( x \le -2 \). Таким образом, при \( p = 0 \) имеем два корня.

Пересмотрим условия для одного корня.
Линия \( y = p \) имеет одно пересечение, когда:
1. \( p < 0 \). Пересекает прямую \( y = x + 6 \) в одной точке \( x = p — 6 \). Так как \( p < 0 \), то \( p — 6 < -6 \), что удовлетворяет условию \( x \le -2 \). Парабола \( y = x^2 \) не имеет отрицательных значений. Один корень.
2. \( p > 4 \). Пересекает параболу \( y = x^2 \) в двух точках \( x = \pm \sqrt{p} \). Если \( p > 4 \), то \( \sqrt{p} > 2 \) и \( -\sqrt{p} < -2 \). Точка \( x = \sqrt{p} \) не входит в интервал \( -2 < x \le 2 \). Точка \( x = -\sqrt{p} \) входит в интервал \( x \le -2 \). Таким образом, при \( p > 4 \) имеем один корень.

в) Уравнение \( f(x) = p \) имеет три корня, когда горизонтальная линия \( y = p \) пересекает график функции в трех точках.
Это происходит, когда \( 0 < p < 4 \). Линия \( y = p \) пересекает прямую \( y = x + 6 \) в одной точке \( x = p — 6 \) (где \( -6 < x < -2 \)) и параболу \( y = x^2 \) в двух точках \( x = \pm \sqrt{p} \) (где \( -2 < x < 0 \) и \( 0 < x < 2 \)). Всего три корня.

г) Уравнение \( f(x) = p \) не имеет корней, когда горизонтальная линия \( y = p \) не пересекает график функции.
График функции принимает значения от \( -\infty \) до 4 (включая 4) на первой части и от 0 до 4 (включая 4) на второй части.
Область значений функции: \( (-\infty, 4] \).
Следовательно, если \( p > 4 \), то уравнение не имеет корней.

Ответы:
а)
\( p = 4 \)
б)
\( p < 0 \) или \( p > 4 \)
в)
\( 0 < p < 4 \)
г)
\( p > 4 \)

Условие: Построить график функции \(f(x) = \begin{cases} x + 6, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 2 \end{cases}\) и определить значения \(p\), при которых уравнение \(f(x) = p\) имеет:

а) два корня;

б) один корень;

в) три корня;

г) не имеет корней.

Решение:
Построим график функции.
Для \(x \le -2\), функция задана как \(y = x + 6\). Это прямая линия.
При \(x = -2\), \(y = -2 + 6 = 4\). Точка \((-2, 4)\) принадлежит графику.
При \(x = -3\), \(y = -3 + 6 = 3\). Точка \((-3, 3)\) принадлежит графику.

Для \(-2 < x \le 2\), функция задана как \(y = x^2\). Это парабола.
При \(x = -2\), \(y = (-2)^2 = 4\). Точка \((-2, 4)\) является началом этого участка графика (но не включается, так как \(x > -2\)).
При \(x = 0\), \(y = 0^2 = 0\). Точка \((0, 0)\) принадлежит графику.
При \(x = 2\), \(y = 2^2 = 4\). Точка \((2, 4)\) принадлежит графику.

Теперь проанализируем количество корней уравнения \(f(x) = p\) по графику, где \(p\) представляет собой горизонтальную линию \(y = p\).

а) Уравнение \(f(x) = p\) имеет два корня, когда горизонтальная линия \(y = p\) пересекает график функции в двух точках.
Это происходит, когда \(p\) находится между минимумом параболы и значением функции на границе первого участка.
Минимум параболы \(y = x^2\) при \(-2 < x \le 2\) находится в точке \((0, 0)\), то есть \(p = 0\).
Максимальное значение на участке параболы равно 4 (при \(x = 2\)).
Значение на границе первого участка при \(x = -2\) равно 4.
Таким образом, два корня будут, когда \(0 < p < 4\).

б) Уравнение \(f(x) = p\) имеет один корень, когда горизонтальная линия \(y = p\) пересекает график функции в одной точке.
Это происходит в следующих случаях:
Когда \(p\) равно значению функции в точке \((-2, 4)\), то есть \(p = 4\). В этом случае линия \(y = 4\) пересекает график в точке \((-2, 4)\) и в точке \((2, 4)\). Это два корня.
Когда \(p\) равно минимуму параболы, то есть \(p = 0\). Линия \(y = 0\) пересекает график в точке \((0, 0)\). Это один корень.
Когда \(p\) больше максимального значения функции, то есть \(p > 4\). Линия \(y = p\) не пересекает график.
Когда \(p\) меньше минимального значения функции, то есть \(p < 0\). Линия \(y = p\) пересекает только первую часть графика \(y = x + 6\).
Для \(y = x + 6\), \(x = p — 6\). Если \(p < 0\), то \(p — 6 < -6\), что удовлетворяет условию \(x \le -2\). Значит, при \(p < 0\) есть один корень.
Итак, один корень, когда \(p = 0\) или \(p < 0\).

в) Уравнение \(f(x) = p\) имеет три корня.
Это происходит, когда горизонтальная линия \(y = p\) пересекает график в трех точках.
Рассмотрим случай, когда \(p = 4\). Линия \(y = 4\) пересекает график в точке \((-2, 4)\) (из первой части) и в точке \((2, 4)\) (из второй части). Это два корня.
Если мы рассмотрим значение \(p\) чуть меньше 4, например \(p = 3.9\), то линия \(y = 3.9\) пересечет первую часть графика (где \(y = x + 6\)) при \(x = 3.9 — 6 = -2.1\), что удовлетворяет \(x \le -2\). И пересечет вторую часть графика (где \(y = x^2\)) при \(x = \pm \sqrt{3.9}\), что удовлетворяет \(-2 < x \le 2\). Таким образом, при \(0 < p < 4\) мы имеем два корня.
Три корня не достигаются для данной функции.

г) Уравнение \(f(x) = p\) не имеет корней, когда горизонтальная линия \(y = p\) не пересекает график функции.
Это происходит, когда \(p\) больше максимального значения функции на всем графике.
Максимальное значение функции равно 4 (достигается при \(x = -2\) и \(x = 2\)).
Следовательно, уравнение не имеет корней, когда \(p > 4\).

Переформулируем ответы, учитывая все случаи:

а) имеет два корня:
Это происходит, когда \(0 < p < 4\).

б) имеет один корень:
Это происходит, когда \(p = 0\) (пересечение с параболой в вершине) или когда \(p < 0\) (пересечение с прямой \(y = x + 6\)).

в) имеет три корня:
Для данной функции уравнение \(f(x) = p\) никогда не имеет трех корней.

г) не имеет корней:
Это происходит, когда \(p > 4\).

Ответы:
а) два корня: \(0 < p < 4\)
б) один корень: \(p \le 0\)
в) три корня: нет таких значений \(p\)
г) не имеет корней: \(p > 4\)