ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 47 Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция у = f(х), где f(x) = система -2x — 4, если х < -1, -x², если -1 ≤ х ≤ 3. Построив график функции у = f(х), определите, при каких значениях р уравнение f(х) = р: а) имеет два корня; б) имеет один корень; в) имеет три корня; г) не имеет корней.

а)
\( f(x) = \begin{cases} -2x — 4, & \text{если } x < -1 \\ -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 3 \end{cases} \)

График функции состоит из двух частей:
1. Прямая \( y = -2x — 4 \) для \( x < -1 \).
При \( x = -1 \), \( y = -2(-1) — 4 = 2 — 4 = -2 \). Точка (-1, -2) не включается.
При \( x \to -\infty \), \( y \to \infty \).

2. Парабола \( y = -x^2 \) для \( -1 \le x \le 3 \).
При \( x = -1 \), \( y = -(-1)^2 = -1 \). Точка (-1, -1) включается.
При \( x = 3 \), \( y = -(3)^2 = -9 \). Точка (3, -9) включается.
Вершина параболы \( y = -x^2 \) находится в точке (0, 0).

Рассмотрим значения \( p \) для которых уравнение \( f(x) = p \) имеет:

а) Два корня:
Это происходит, когда горизонтальная прямая \( y = p \) пересекает график функции в двух точках.
— Если \( p \) находится между значением функции в точке разрыва (-2) и значением в начале отрезка параболы (-1), то есть \( -2 < p < -1 \).
— Если \( p \) находится между значением в конце отрезка параболы (-9) и значением вершины параболы (0), но ниже вершины, то есть \( -9 < p < 0 \).
— Если \( p = -1 \), то есть значение в точке (-1, -1) на параболе.
— Если \( p = -2 \), то есть значение в точке, к которой стремится прямая при \( x \to -1 \).

Более точный анализ:
— Для \( -2 < p < -1 \): одна точка на прямой, одна точка на параболе. Два корня.
— Для \( p = -1 \): одна точка на параболе (x=-1).
— Для \( -9 < p < -1 \): одна точка на параболе.
— Для \( p = -9 \): одна точка на параболе (x=3).
— Для \( p = 0 \): одна точка на параболе (x=0).
— Для \( p > 0 \): нет пересечений.
— Для \( p < -9 \): нет пересечений.

Рассмотрим пересечения с горизонтальной линией \( y = p \).
— Если \( p > 0 \), нет корней.
— Если \( p = 0 \), один корень (x=0).
— Если \( -1 < p < 0 \), один корень (на параболе).
— Если \( p = -1 \), один корень (x=-1).
— Если \( -2 < p < -1 \), два корня (один на прямой, один на параболе).
— Если \( p = -2 \), один корень (на прямой, x=-1, но эта точка не включается в область определения прямой, поэтому это не корень).
— Если \( -9 < p < -2 \), один корень (на прямой).
— Если \( p = -9 \), один корень (x=3).
— Если \( p < -9 \), нет корней.

Итак, для двух корней:
\( -2 < p < -1 \)

б) Один корень:
— Если \( p = 0 \) (вершина параболы).
— Если \( -1 < p < 0 \) (на параболе).
— Если \( p = -1 \) (начало отрезка параболы).
— Если \( p = -9 \) (конец отрезка параболы).
— Если \( -9 < p < -2 \) (на прямой).

Объединяя эти интервалы:
\( p = 0 \)
\( -1 \le p < 0 \)
\( -9 < p < -2 \)
\( p = -9 \)

Это можно записать как:
\( -9 \le p < -2 \) и \( p = 0 \)

в) Три корня:
Таких значений \( p \) нет, так как максимум две части графика, каждая из которых может пересекаться с горизонтальной линией не более чем в двух точках.

г) Не имеет корней:
— Если \( p > 0 \).
— Если \( p < -9 \).

Объединяя эти интервалы:
\( p < -9 \) или \( p > 0 \)

Ответы:
а)
\( -2 < p < -1 \)
б)
\( -9 \le p < -2 \) или \( p = 0 \)
в) Нет таких значений \( p \)
г)
\( p < -9 \) или \( p > 0 \)

Условие: Построить график функции \(f(x)\) и определить количество корней уравнения \(f(x) = p\) для различных значений \(p\).

Функция задана кусочно:
\( f(x) = \begin{cases} -2x — 4, & \text{если } x < -1 \\ -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 3 \end{cases} \)

Решение:
Построим график функции.

Для первой части функции \(y = -2x — 4\) при \(x < -1\):
Это прямая линия. Найдем значения в граничных точках:
При \(x = -1\), \(y = -2(-1) — 4 = 2 — 4 = -2\). Точка \((-1, -2)\) не включается в график (выколотая точка).
Возьмем другую точку, например, \(x = -2\): \(y = -2(-2) — 4 = 4 — 4 = 0\). Точка \((-2, 0)\).

Для второй части функции \(y = -x^2\) при \(-1 \le x \le 3\):
Это часть параболы. Найдем значения в граничных точках:
При \(x = -1\), \(y = -(-1)^2 = -1\). Точка \((-1, -1)\) включается в график.
При \(x = 3\), \(y = -(3)^2 = -9\). Точка \((3, -9)\) включается в график.
Найдем вершину параболы \(y = -x^2\). Вершина находится в точке \((0, 0)\).

Теперь проанализируем график для определения количества корней уравнения \(f(x) = p\). Уравнение \(f(x) = p\) означает, что мы ищем точки пересечения графика функции \(y = f(x)\) с горизонтальной прямой \(y = p\).

а) имеет два корня:
Это происходит, когда горизонтальная прямая \(y = p\) пересекает график в двух точках.
Это случается, когда \(p\) находится между значением выколотой точки первой части функции и значением в точке \(x=-1\) второй части функции.
То есть, когда \(-2 < p < -1\).
Также два корня будет, когда прямая проходит через точку \((3, -9)\) и пересекает первую часть графика. Это произойдет при \(p = -9\).

б) имеет один корень:
Это происходит, когда горизонтальная прямая \(y = p\) пересекает график в одной точке.
Это случается, когда \(p = -2\) (прямая проходит через выколотую точку \((-1, -2)\) первой части, но не пересекает вторую часть в этой точке).
Это также случается, когда \(p = -1\) (прямая проходит через точку \((-1, -1)\) второй части, но не пересекает первую часть в этой точке).
И когда \(p < -9\) (прямая пересекает только первую часть графика).

в) имеет три корня:
Это происходит, когда горизонтальная прямая \(y = p\) пересекает график в трех точках.
Это случается, когда \(p\) находится между значением в точке \(x=-1\) второй части и значением вершины параболы.
То есть, когда \(-1 < p < 0\).

г) не имеет корней:
Это происходит, когда горизонтальная прямая \(y = p\) не пересекает график ни в одной точке.
Это случается, когда \(p > 0\) (так как максимальное значение первой части функции стремится к \(-2\), а вторая часть имеет максимум \(0\) при \(x=0\)).

Обобщим результаты:
а) имеет два корня: \(-2 < p < -1\) или \(p = -9\).
б) имеет один корень: \(p = -2\), \(p = -1\), или \(p < -9\).
в) имеет три корня: \(-1 < p < 0\).
г) не имеет корней: \(p > 0\).

Ответы:
а) имеет два корня при \(-2 < p < -1\) или \(p = -9\).
б) имеет один корень при \(p = -2\), \(p = -1\), или \(p < -9\).
в) имеет три корня при \(-1 < p < 0\).
г) не имеет корней при \(p > 0\).