ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 80 Мордкович — Подробные Ответы

Из пункта М в пункт N выехал автобус. Через полчаса из N в М со скоростью, превышающей скорость автобуса на 18 км/ч, выехал легковой автомобиль. Через 1 ч 20 мин после своего выхода он встретил автобус, причём проехал расстояние на 3 км большее, чем автобус. Чему равно расстояние между М и N?

Пусть \(x\) км/ч — скорость автобуса, тогда \(x + 18\) км/ч — скорость автомобиля.

Автобус до встречи прошёл
\(\left(1\ \text{ч}\ 20\ \text{мин} + 30\ \text{мин} = 1\ \text{ч}\ 50\ \text{мин} = 1\frac{50}{60} = 1\frac{5}{6} = \frac{11}{6}\ \text{ч}\right)\)
\(\frac{11}{6}x\) км,
а автомобиль прошёл
\(\left(1\ \text{ч}\ 20\ \text{мин} = 1\frac{20}{60} = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\ \text{ч}\right)\)
\(\frac{4}{3}(x + 18)\) км,
так же известно, что автомобиль проехал на 3 км большее расстояние.

Составим уравнение:
\[
\frac{11}{6}x + 3 = \frac{4}{3}(x + 18) \quad \big| \cdot 6
\]

\[
11x + 18 = 8(x + 18)
\]

\[
11x + 18 = 8x + 144
\]

\[
11x — 8x = 144 — 18
\]

\[
3x = 126
\]

\[
x = 42\ \text{(км/ч)} \quad\text{— скорость автобуса.}
\]

\[
x + 18 = 42 + 18 = 60\ \text{(км/ч)} \quad\text{— скорость автомобиля.}
\]

Найдём расстояние между \(M\) и \(N\):
\[
\frac{11}{6} \cdot 42 + \frac{4}{3} \cdot 60 = 11 \cdot 7 + 4 \cdot 20 = 77 + 80 = 157\ \text{(км)}.
\]

Ответ: \(157\) км.

Пусть \(x\) км/ч — скорость автобуса.
По условию, автомобиль движется на 18 км/ч быстрее автобуса, поэтому его скорость равна \(x + 18\) км/ч.

Теперь определим, какое время каждый из них находился в пути до встречи.

Автомобиль выехал из пункта \(N\) и ехал 1 час 20 минут до встречи.
Переведём это время в часы:
\[
1\ \text{ч}\ 20\ \text{мин} = 1 + \frac{20}{60} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\ \text{ч}.
\]

Автобус выехал из пункта \(M\) на 30 минут раньше, чем автомобиль. Следовательно, к моменту встречи он был в пути:
\[
1\ \text{ч}\ 20\ \text{мин} + 30\ \text{мин} = 1\ \text{ч}\ 50\ \text{мин}.
\]

Переведём это в часы:
\[
1\ \text{ч}\ 50\ \text{мин} = 1 + \frac{50}{60} = 1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}\ \text{ч}.
\]

Теперь найдём пройденные расстояния:
— Автобус прошёл: \(\frac{11}{6}x\) км,
— Автомобиль прошёл: \(\frac{4}{3}(x + 18)\) км.

Из условия известно, что автомобиль проехал на 3 км больше, чем автобус. Это означает:

\[
\text{(путь автомобиля)} = \text{(путь автобуса)} + 3,
\]

или
\[
\frac{4}{3}(x + 18) = \frac{11}{6}x + 3.
\]

Для удобства перепишем уравнение в более привычном виде (перенеся слагаемые):

\[
\frac{11}{6}x + 3 = \frac{4}{3}(x + 18).
\]

Избавимся от дробей. Наименьший общий знаменатель чисел 6 и 3 — это 6. Умножим обе части уравнения на 6:

\[
6 \cdot \left( \frac{11}{6}x + 3 \right) = 6 \cdot \left( \frac{4}{3}(x + 18) \right),
\]

\[
11x + 18 = 8(x + 18).
\]

Раскроем скобки в правой части:

\[
11x + 18 = 8x + 144.
\]

Перенесём все члены с \(x\) влево, числа — вправо:

\[
11x — 8x = 144 — 18,
\]

\[
3x = 126.
\]

Найдём \(x\):

\[
x = \frac{126}{3} = 42.
\]

Следовательно, скорость автобуса — 42 км/ч,
а скорость автомобиля — \(42 + 18 = 60\) км/ч.

Теперь найдём расстояние между пунктами \(M\) и \(N\). Оно равно сумме расстояний, пройденных каждым транспортным средством до встречи:

\[
S = \text{путь автобуса} + \text{путь автомобиля} = \frac{11}{6} \cdot 42 + \frac{4}{3} \cdot 60.
\]

Вычислим каждое слагаемое:

— \(\frac{11}{6} \cdot 42 = 11 \cdot 7 = 77\) км (так как \(42 \div 6 = 7\)),
— \(\frac{4}{3} \cdot 60 = 4 \cdot 20 = 80\) км (так как \(60 \div 3 = 20\)).

Сложим:

\[
S = 77 + 80 = 157\ \text{км}.
\]

Проверка:
Путь автобуса: 77 км,
путь автомобиля: 80 км,
разность: \(80 — 77 = 3\) км — совпадает с условием.
Время автобуса: \(77 \div 42 = \frac{11}{6}\) ч = 1 ч 50 мин — верно.
Время автомобиля: \(80 \div 60 = \frac{4}{3}\) ч = 1 ч 20 мин — верно.

Всё согласуется.

Ответ: расстояние между пунктами \(M\) и \(N\) равно 157 км.