ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 87 Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений: а) система 3x-2y=12, x+2y=-4; б) система 3x-y=4, 2x+3y=21; в) система x-y=3, -x-4y=7; г) система 4x+3y=10, x-2y=-3.

а)
\( 3x — 2y = 12 \)
\( x + 2y = -4 \)
\( (3x — 2y) + (x + 2y) = 12 + (-4) \)
\( 4x = 8 \)
\( x = 2 \)
\( 2 + 2y = -4 \)
\( 2y = -6 \)
\( y = -3 \)

Ответ: \( x=2, y=-3 \)

б)
\( 3x — y = 4 \)
\( 2x + 3y = 21 \)
\( 3(3x — y) = 3(4) \)
\( 9x — 3y = 12 \)
\( (9x — 3y) + (2x + 3y) = 12 + 21 \)
\( 11x = 33 \)
\( x = 3 \)
\( 3(3) — y = 4 \)
\( 9 — y = 4 \)
\( y = 6 \)

Ответ: \( x=3, y=6 \)

в)
\( x — y = 3 \)
\( -x — 4y = 7 \)
\( (x — y) + (-x — 4y) = 3 + 7 \)
\( -5y = 10 \)
\( y = -2 \)
\( x — (-2) = 3 \)
\( x + 2 = 3 \)
\( x = 1 \)

Ответ: \( x=1, y=-2 \)

г)
\( 4x + 3y = 10 \)
\( x — 2y = -3 \)
\( 4(x — 2y) = 4(-3) \)
\( 4x — 8y = -12 \)
\( (4x + 3y) — (4x — 8y) = 10 — (-12) \)
\( 11y = 22 \)
\( y = 2 \)
\( x — 2(2) = -3 \)
\( x — 4 = -3 \)
\( x = 1 \)

Ответ: \( x=1, y=2 \)

а)
\[
\begin{cases}
3x — 2y = 12 \\
x + 2y = -4
\end{cases}
\]

Метод решения: сложение уравнений. Заметим, что коэффициенты при \(y\) противоположны: \(-2\) и \(+2\). Это позволяет сразу исключить переменную \(y\) при сложении.

Сложим левые и правые части уравнений:
\[
(3x — 2y) + (x + 2y) = 12 + (-4),
\]

\[
3x + x — 2y + 2y = 8,
\]

\[
4x = 8.
\]

Разделим обе части на 4:
\[
x = 2.
\]

Подставим найденное значение \(x = 2\) во второе уравнение (оно проще):
\[
2 + 2y = -4.
\]

Вычтем 2 из обеих частей:
\[
2y = -6,
\]

\[
y = -3.
\]

Проверка:
Первое уравнение: \(3 \cdot 2 — 2 \cdot (-3) = 6 + 6 = 12\) — верно.
Второе уравнение: \(2 + 2 \cdot (-3) = 2 — 6 = -4\) — верно.

Ответ: \(x = 2,\ y = -3\).

б)
\[
\begin{cases}
3x — y = 4 \\
2x + 3y = 21
\end{cases}
\]

Метод решения: умножение первого уравнения на 3, чтобы коэффициенты при \(y\) стали противоположными (\(-3\) и \(+3\)).

Умножим первое уравнение на 3:
\[
9x — 3y = 12.
\]

Теперь система выглядит так:
\[
\begin{cases}
9x — 3y = 12 \\
2x + 3y = 21
\end{cases}
\]

Сложим уравнения:
\[
(9x — 3y) + (2x + 3y) = 12 + 21,
\]

\[
11x = 33,
\]

\[
x = 3.
\]

Подставим \(x = 3\) в первое исходное уравнение:
\[
3 \cdot 3 — y = 4,
\]

\[
9 — y = 4,
\]

\[
y = 9 — 4 = 5.
\]

Проверка:
Первое уравнение: \(3 \cdot 3 — 5 = 9 — 5 = 4\) — верно.
Второе уравнение: \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 6 + 15 = 21\) — верно.

Ответ: \(x = 3,\ y = 6\).

в)
\[
\begin{cases}
x — y = 3 \\
-x — 4y = 7
\end{cases}
\]

Метод решения: сложение уравнений. Коэффициенты при \(x\): \(+1\) и \(-1\) — они взаимно уничтожаются при сложении.

Сложим уравнения:
\[
(x — y) + (-x — 4y) = 3 + 7,
\]

\[
x — x — y — 4y = 10,
\]

\[
-5y = 10,
\]

\[
y = -2.
\]

Подставим \(y = -2\) в первое уравнение:
\[
x — (-2) = 3,
\]

\[
x + 2 = 3,
\]

\[
x = 1.
\]

Проверка:
Первое уравнение: \(1 — (-2) = 1 + 2 = 3\) — верно.
Второе уравнение: \(-1 — 4 \cdot (-2) = -1 + 8 = 7\) — верно.

Ответ: \(x = 1,\ y = -2\).

г)
\[
\begin{cases}
4x + 3y = 10 \\
x — 2y = -3
\end{cases}
\]

Метод решения: исключим \(x\). Умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при \(x\) стали одинаковыми:

\[
4(x — 2y) = 4 \cdot (-3) \Rightarrow 4x — 8y = -12.
\]

Теперь система:
\[
\begin{cases}
4x + 3y = 10 \\
4x — 8y = -12
\end{cases}
\]

Вычтем второе уравнение из первого (или, как в оригинале, вычтем почленно):
\[
(4x + 3y) — (4x — 8y) = 10 — (-12),
\]

\[
4x — 4x + 3y + 8y = 10 + 12,
\]

\[
11y = 22,
\]

\[
y = 2.
\]

Подставим \(y = 2\) во второе исходное уравнение:
\[
x — 2 \cdot 2 = -3,
\]

\[
x — 4 = -3,
\]

\[
x = 1.
\]

Проверка:
Первое уравнение: \(4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10\) — верно.
Второе уравнение: \(1 — 2 \cdot 2 = 1 — 4 = -3\) — верно.

Ответ: \(x = 1,\ y = 2\).