ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 89 Мордкович — Подробные Ответы

а)
\[
\begin{cases}
2x — y = 3, \\
6x — 3y = 9;
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
2x + 5y = 10, \\
4x + 10y = 15;
\end{cases}
\]

в)
\[
\begin{cases}
\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y = -1, \\
\frac{2}{5}x + \frac{1}{5}y = 1;
\end{cases}
\]

г)
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2}x — \frac{2}{3}y = 2, \\
-\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = -1.
\end{cases}
\]

а)
\( \begin{cases} 2x — y = 3 \\ 6x — 3y = 9 \end{cases} \)
Умножим первое уравнение на 3:
\( 3(2x — y) = 3(3) \)
\( 6x — 3y = 9 \)
Полученное уравнение совпадает со вторым уравнением системы. Это означает, что система имеет бесконечно много решений.
Выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения:
\( -y = 3 — 2x \)
\( y = 2x — 3 \)

Ответ: \( y = 2x — 3 \)

б)
\( \begin{cases} \frac{2x}{3} + \frac{y}{3} = -1 \\ \frac{2x}{5} + \frac{y}{5} = 1 \end{cases} \)
Умножим первое уравнение на 3:
\( 3 \left( \frac{2x}{3} + \frac{y}{3} \right) = 3(-1) \)
\( 2x + y = -3 \)
Умножим второе уравнение на 5:
\( 5 \left( \frac{2x}{5} + \frac{y}{5} \right) = 5(1) \)
\( 2x + y = 5 \)
Получаем систему:
\( \begin{cases} 2x + y = -3 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \)
Вычтем первое уравнение из второго:
\( (2x + y) — (2x + y) = 5 — (-3) \)
\( 0 = 8 \)
Получили ложное равенство, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений

в)
\( \begin{cases} 2x + 5y = 10 \\ 4x + 10y = 15 \end{cases} \)
Умножим первое уравнение на 2:
\( 2(2x + 5y) = 2(10) \)
\( 4x + 10y = 20 \)
Получаем систему:
\( \begin{cases} 4x + 10y = 20 \\ 4x + 10y = 15 \end{cases} \)
Вычтем второе уравнение из первого:
\( (4x + 10y) — (4x + 10y) = 20 — 15 \)
\( 0 = 5 \)
Получили ложное равенство, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений

г)
\( \begin{cases} \frac{x}{2} — \frac{2y}{3} = 2 \\ -\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = -1 \end{cases} \)
Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3):
\( 6 \left( \frac{x}{2} — \frac{2y}{3} \right) = 6(2) \)
\( 3x — 4y = 12 \)
Умножим второе уравнение на 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3):
\( 12 \left( -\frac{x}{4} + \frac{y}{3} \right) = 12(-1) \)
\( -3x + 4y = -12 \)
Получаем систему:
\( \begin{cases} 3x — 4y = 12 \\ -3x + 4y = -12 \end{cases} \)
Сложим первое и второе уравнения:
\( (3x — 4y) + (-3x + 4y) = 12 + (-12) \)
\( 0 = 0 \)
Получили верное равенство, следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения:
\( -4y = 12 — 3x \)
\( 4y = 3x — 12 \)
\( y = \frac{3x — 12}{4} \)
\( y = \frac{3}{4}x — 3 \)

Ответ: \( y = \frac{3}{4}x — 3 \)

Условие: Решить систему уравнений:
а)
\( \begin{cases} 2x — y = 3 \\ 6x — 3y = 9 \end{cases} \)
б)
\( \begin{cases} \frac{2x}{3} + \frac{y}{3} = -1 \\ \frac{2x}{5} + \frac{y}{5} = 1 \end{cases} \)
в)
\( \begin{cases} 2x + 5y = 10 \\ 4x + 10y = 15 \end{cases} \)
г)
\( \begin{cases} \frac{x}{2} — \frac{2y}{3} = 2 \\ -\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = -1 \end{cases} \)

Решение:
а)
Дана система уравнений:
\( \begin{cases} 2x — y = 3 \quad (1) \\ 6x — 3y = 9 \quad (2) \end{cases} \)
Разделим второе уравнение на 3:
\( \frac{6x}{3} — \frac{3y}{3} = \frac{9}{3} \)
\( 2x — y = 3 \)
Полученное уравнение идентично первому уравнению.
Это означает, что система имеет бесконечно много решений.
Выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения:
\( -y = 3 — 2x \)
\( y = 2x — 3 \)

Ответ: Бесконечно много решений, \( y = 2x — 3 \)

б)
Дана система уравнений:
\( \begin{cases} \frac{2x}{3} + \frac{y}{3} = -1 \quad (1) \\ \frac{2x}{5} + \frac{y}{5} = 1 \quad (2) \end{cases} \)
Умножим первое уравнение на 3, чтобы избавиться от знаменателей:
\( 3 \left( \frac{2x}{3} + \frac{y}{3} \right) = 3(-1) \)
\( 2x + y = -3 \quad (3) \)
Умножим второе уравнение на 5, чтобы избавиться от знаменателей:
\( 5 \left( \frac{2x}{5} + \frac{y}{5} \right) = 5(1) \)
\( 2x + y = 5 \quad (4) \)
Теперь система выглядит так:
\( \begin{cases} 2x + y = -3 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \)
Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):
\( (2x + y) — (2x + y) = 5 — (-3) \)
\( 0 = 5 + 3 \)
\( 0 = 8 \)
Получили ложное равенство, что означает, что система не имеет решений.

Ответ: Нет решений

в)
Дана система уравнений:
\( \begin{cases} 2x + 5y = 10 \quad (1) \\ 4x + 10y = 15 \quad (2) \end{cases} \)
Умножим первое уравнение на 2:
\( 2(2x + 5y) = 2(10) \)
\( 4x + 10y = 20 \quad (3) \)
Теперь система выглядит так:
\( \begin{cases} 4x + 10y = 20 \\ 4x + 10y = 15 \end{cases} \)
Вычтем уравнение (2) из уравнения (3):
\( (4x + 10y) — (4x + 10y) = 20 — 15 \)
\( 0 = 5 \)
Получили ложное равенство, что означает, что система не имеет решений.

Ответ: Нет решений

г)
Дана система уравнений:
\( \begin{cases} \frac{x}{2} — \frac{2y}{3} = 2 \quad (1) \\ -\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = -1 \quad (2) \end{cases} \)
Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3), чтобы избавиться от знаменателей:
\( 6 \left( \frac{x}{2} — \frac{2y}{3} \right) = 6(2) \)
\( 3x — 4y = 12 \quad (3) \)
Умножим второе уравнение на 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3), чтобы избавиться от знаменателей:
\( 12 \left( -\frac{x}{4} + \frac{y}{3} \right) = 12(-1) \)
\( -3x + 4y = -12 \quad (4) \)
Теперь система выглядит так:
\( \begin{cases} 3x — 4y = 12 \\ -3x + 4y = -12 \end{cases} \)
Сложим уравнение (3) и уравнение (4):
\( (3x — 4y) + (-3x + 4y) = 12 + (-12) \)
\( 0 = 0 \)
Получили верное равенство, что означает, что система имеет бесконечно много решений.
Выразим \( y \) через \( x \) из уравнения (3):
\( -4y = 12 — 3x \)
\( 4y = 3x — 12 \)
\( y = \frac{3x — 12}{4} \)
\( y = \frac{3}{4}x — 3 \)

Ответ: Бесконечно много решений, \( y = \frac{3}{4}x — 3 \)