ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 92 Мордкович — Подробные Ответы

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 360 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 2 ч 15 мин. Если бы первый автомобиль выехал на 24 мин раньше второго, то встреча произошла бы через 2 ч после выезда второго автомобиля. Найдите скорость каждого автомобиля.

\( 2 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 2 + \frac{15}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{1}{4} \text{ ч } = 2.25 \text{ ч } \)
\( v_1 \) — скорость первого автомобиля
\( v_2 \) — скорость второго автомобиля

По условию задачи, в первом случае автомобили встретились через 2 ч 15 мин, проехав в сумме 360 км.
\( (v_1 + v_2) \cdot 2.25 = 360 \)
\( v_1 + v_2 = \frac{360}{2.25} \)
\( v_1 + v_2 = 160 \) (1)

Во втором случае первый автомобиль выехал на 24 мин раньше второго.
\( 24 \text{ мин } = \frac{24}{60} \text{ ч } = 0.4 \text{ ч } \)
Встреча произошла через 2 ч после выезда второго автомобиля.
Время в пути второго автомобиля: \( t_2 = 2 \) ч.
Время в пути первого автомобиля: \( t_1 = 2 + 0.4 = 2.4 \) ч.
Сумма расстояний, пройденных автомобилями, равна 360 км.
\( v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2 = 360 \)
\( 2.4 v_1 + 2 v_2 = 360 \) (2)

Из уравнения (1) выразим \( v_2 \):
\( v_2 = 160 — v_1 \)

Подставим это выражение в уравнение (2):
\( 2.4 v_1 + 2 (160 — v_1) = 360 \)
\( 2.4 v_1 + 320 — 2 v_1 = 360 \)
\( 0.4 v_1 = 360 — 320 \)
\( 0.4 v_1 = 40 \)
\( v_1 = \frac{40}{0.4} \)
\( v_1 = 100 \)

Теперь найдем \( v_2 \):
\( v_2 = 160 — 100 \)
\( v_2 = 60 \)
Ответ: 100 км/ч, 60 км/ч

Условие: Из пунктов А и В, расстояние между которыми 360 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 2 ч 15 мин. Если бы первый автомобиль выехал на 24 мин раньше второго, то встреча произошла бы через 2 ч после выезда второго автомобиля. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:
1. Обозначим скорость первого автомобиля как \( v_1 \) км/ч, а скорость второго автомобиля как \( v_2 \) км/ч.

2. Переведем заданное время в часы:
2 ч 15 мин \( = 2 + \frac{15}{60} \) ч \( = 2 + \frac{1}{4} \) ч \( = 2.25 \) ч.
24 мин \( = \frac{24}{60} \) ч \( = \frac{2}{5} \) ч \( = 0.4 \) ч.

3. Рассмотрим первый случай: автомобили выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 ч 15 мин.
Расстояние между пунктами А и В равно 360 км.
При движении навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме их скоростей \( (v_1 + v_2) \).
Расстояние \( S = (v_1 + v_2) \cdot t \).
Подставим известные значения:
\( 360 = (v_1 + v_2) \cdot 2.25 \)
Разделим обе части уравнения на 2.25:
\( v_1 + v_2 = \frac{360}{2.25} \)
\( v_1 + v_2 = 160 \) (Уравнение 1)

4. Рассмотрим второй случай: первый автомобиль выехал на 24 мин раньше второго, и встреча произошла через 2 ч после выезда второго автомобиля.
Время в пути второго автомобиля \( t_2 = 2 \) ч.
Время в пути первого автомобиля \( t_1 = t_2 + 0.4 = 2 + 0.4 = 2.4 \) ч.
Расстояние, пройденное первым автомобилем до встречи: \( S_1 = v_1 \cdot t_1 = 2.4 v_1 \).
Расстояние, пройденное вторым автомобилем до встречи: \( S_2 = v_2 \cdot t_2 = 2 v_2 \).
Сумма расстояний, пройденных обоими автомобилями, равна общему расстоянию между пунктами:
\( S_1 + S_2 = 360 \)
\( 2.4 v_1 + 2 v_2 = 360 \) (Уравнение 2)

5. Решим систему из двух линейных уравнений:
\( \begin{cases} v_1 + v_2 = 160 \\ 2.4 v_1 + 2 v_2 = 360 \end{cases} \)

6. Из Уравнения 1 выразим \( v_2 \):
\( v_2 = 160 — v_1 \)

7. Подставим это выражение для \( v_2 \) в Уравнение 2:
\( 2.4 v_1 + 2 (160 — v_1) = 360 \)
Раскроем скобки:
\( 2.4 v_1 + 320 — 2 v_1 = 360 \)
Сгруппируем члены с \( v_1 \):
\( (2.4 — 2) v_1 = 360 — 320 \)
\( 0.4 v_1 = 40 \)
Найдем \( v_1 \):
\( v_1 = \frac{40}{0.4} \)
\( v_1 = \frac{400}{4} \)
\( v_1 = 100 \) км/ч

8. Теперь найдем \( v_2 \), подставив значение \( v_1 \) в выражение \( v_2 = 160 — v_1 \):
\( v_2 = 160 — 100 \)
\( v_2 = 60 \) км/ч

Ответ: Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго автомобиля 60 км/ч.