ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 93 Мордкович — Подробные Ответы

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 45 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. Найдите скорости пешеходов.

Пусть \( v_1 \) — скорость первого пешехода, а \( v_2 \) — скорость второго пешехода.
Расстояние между пунктами А и В равно \( 30 \) км.

Первый случай: пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч 45 мин.
\( 3 \) ч \( 45 \) мин \( = 3 + \frac{45}{60} \) ч \( = 3 + \frac{3}{4} \) ч \( = 3.75 \) ч.
\( (v_1 + v_2) \cdot 3.75 = 30 \)
\( v_1 + v_2 = \frac{30}{3.75} \)
\( v_1 + v_2 = 8 \)

Второй случай: первый вышел на 2 ч раньше второго, встреча произошла через 2,5 ч после выхода второго.
Время в пути первого пешехода: \( 2.5 + 2 = 4.5 \) ч.
Время в пути второго пешехода: \( 2.5 \) ч.
Расстояние, пройденное первым пешеходом: \( v_1 \cdot 4.5 \).
Расстояние, пройденное вторым пешеходом: \( v_2 \cdot 2.5 \).
Сумма пройденных расстояний равна общему расстоянию:
\( 4.5 v_1 + 2.5 v_2 = 30 \)

Получаем систему уравнений:
\( \begin{cases} v_1 + v_2 = 8 \\ 4.5 v_1 + 2.5 v_2 = 30 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( v_2 \):
\( v_2 = 8 — v_1 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:
\( 4.5 v_1 + 2.5 (8 — v_1) = 30 \)
\( 4.5 v_1 + 2.5 \cdot 8 — 2.5 v_1 = 30 \)
\( 4.5 v_1 + 20 — 2.5 v_1 = 30 \)
\( (4.5 — 2.5) v_1 + 20 = 30 \)
\( 2 v_1 + 20 = 30 \)
\( 2 v_1 = 30 — 20 \)
\( 2 v_1 = 10 \)
\( v_1 = \frac{10}{2} \)
\( v_1 = 5 \)

Теперь найдем \( v_2 \):
\( v_2 = 8 — v_1 \)
\( v_2 = 8 — 5 \)
\( v_2 = 3 \)

Скорость первого пешехода 5 км/ч, скорость второго пешехода 3 км/ч.

Ответ: 5 км/ч, 3 км/ч

Условие: Из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 45 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. Найдите скорости пешеходов.

Решение:
Пусть \( v_1 \) — скорость первого пешехода (из пункта А), а \( v_2 \) — скорость второго пешехода (из пункта В).
Расстояние между пунктами А и В равно 30 км.

Рассмотрим первый случай:
Пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч 45 мин.
Переведем время в часы: \( 3 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч } = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч } = 3.75 \text{ ч } \).
За это время первый пешеход прошел расстояние \( S_1 = v_1 \times 3.75 \).
Второй пешеход прошел расстояние \( S_2 = v_2 \times 3.75 \).
Так как они встретились, сумма пройденных расстояний равна общему расстоянию:
\( 3.75 v_1 + 3.75 v_2 = 30 \)
Вынесем общий множитель \( 3.75 \):
\( 3.75 (v_1 + v_2) = 30 \)
Разделим обе части уравнения на \( 3.75 \):
\( v_1 + v_2 = \frac{30}{3.75} \)
\( v_1 + v_2 = 8 \) (Уравнение 1)

Рассмотрим второй случай:
Первый пешеход вышел на 2 ч раньше второго.
Встреча произошла через 2,5 ч после выхода второго пешехода.
Время движения второго пешехода до встречи: \( t_2 = 2.5 \text{ ч } \).
Время движения первого пешехода до встречи: \( t_1 = t_2 + 2 = 2.5 + 2 = 4.5 \text{ ч } \).
Расстояние, пройденное первым пешеходом: \( S_1 = v_1 \times 4.5 \).
Расстояние, пройденное вторым пешеходом: \( S_2 = v_2 \times 2.5 \).
Сумма пройденных расстояний равна общему расстоянию:
\( 4.5 v_1 + 2.5 v_2 = 30 \) (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
1. \( v_1 + v_2 = 8 \)
2. \( 4.5 v_1 + 2.5 v_2 = 30 \)

Из Уравнения 1 выразим \( v_2 \) через \( v_1 \):
\( v_2 = 8 — v_1 \)

Подставим это выражение для \( v_2 \) в Уравнение 2:
\( 4.5 v_1 + 2.5 (8 — v_1) = 30 \)
Раскроем скобки:
\( 4.5 v_1 + 2.5 \times 8 — 2.5 v_1 = 30 \)
\( 4.5 v_1 + 20 — 2.5 v_1 = 30 \)
Сгруппируем члены с \( v_1 \):
\( (4.5 — 2.5) v_1 + 20 = 30 \)
\( 2 v_1 + 20 = 30 \)
Вычтем 20 из обеих частей уравнения:
\( 2 v_1 = 30 — 20 \)
\( 2 v_1 = 10 \)
Разделим обе части на 2:
\( v_1 = \frac{10}{2} \)
\( v_1 = 5 \text{ км/ч} \)

Теперь найдем \( v_2 \), используя выражение \( v_2 = 8 — v_1 \):
\( v_2 = 8 — 5 \)
\( v_2 = 3 \text{ км/ч} \)

Скорость первого пешехода 5 км/ч, а скорость второго пешехода 3 км/ч.

Ответ: 5 км/ч, 3 км/ч