ГДЗ по Алгебре 7 Класс Итоговое Повторение Номер 95 Мордкович — Подробные Ответы

По течению реки катер проходит 28 км за 1 ч 20 мин, а против течения — 24 км за 1,5 ч. Найдите скорость течения реки.

Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость катера, а \(y\) км/ч — скорость течения реки.
За \(1\) ч \(20\) мин \(= 1\frac{20}{60} = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\) ч катер проходит по течению \(28\) км, а за \(1{,}5\) ч — против течения \(24\) км.

Составим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{4}{3}(x + y) = 28, \\
1{,}5(x — y) = 24.
\end{cases}
\]

Упростим:
\[
\begin{cases}
x + y = 21, \\
x — y = 16.
\end{cases}
\]

Решаем:
\[
\begin{cases}
x = 18{,}5, \\
y = 2{,}5.
\end{cases}
\]

Ответ: \(2{,}5\) км/ч — скорость течения реки.

Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость катера (то есть его скорость в стоячей воде),
а \(y\) км/ч — скорость течения реки.

Когда катер движется по течению, его эффективная скорость увеличивается на скорость течения и составляет \(x + y\) км/ч.
Когда он движется против течения, его скорость уменьшается и равна \(x — y\) км/ч.

Из условия задачи известно:

— За 1 час 20 минут катер проходит 28 км по течению.
Переведём время в часы:
\(1\) ч \(20\) мин \(= 1 + \frac{20}{60} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\) часа.

— За \(1{,}5\) часа (то есть полтора часа) он проходит 24 км против течения.

Используя формулу пути \(S = v \cdot t\), запишем два уравнения:

1. По течению:
\[
(x + y) \cdot \frac{4}{3} = 28.
\]

2. Против течения:
\[
(x — y) \cdot 1{,}5 = 24.
\]

Теперь упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:
Разделим обе части на \(\frac{4}{3}\) (или умножим на \(\frac{3}{4}\)):
\[
x + y = 28 \cdot \frac{3}{4} = 7 \cdot 3 = 21.
\]

Второе уравнение:
Запишем \(1{,}5\) как дробь: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\). Тогда:
\[
(x — y) \cdot \frac{3}{2} = 24.
\]

Умножим обе части на \(\frac{2}{3}\):
\[
x — y = 24 \cdot \frac{2}{3} = 8 \cdot 2 = 16.
\]

Таким образом, получаем систему линейных уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = 21, \\
x — y = 16.
\end{cases}
\]

Решим её методом сложения. Сложим оба уравнения почленно:
\[
(x + y) + (x — y) = 21 + 16 \quad \Rightarrow \quad 2x = 37 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{37}{2} = 18{,}5.
\]

Подставим найденное значение \(x = 18{,}5\) в первое уравнение:
\[
18{,}5 + y = 21 \quad \Rightarrow \quad y = 21 — 18{,}5 = 2{,}5.
\]

Проверка:
— По течению: \(x + y = 18{,}5 + 2{,}5 = 21\) км/ч. За \(\frac{4}{3}\) ч путь: \(21 \cdot \frac{4}{3} = 28\) км — верно.
— Против течения: \(x — y = 18{,}5 — 2{,}5 = 16\) км/ч. За \(1{,}5\) ч путь: \(16 \cdot 1{,}5 = 24\) км — верно.

Следовательно, скорость течения реки равна \(2{,}5\) км/ч.

Ответ: \(2{,}5\) км/ч.