ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 11.20 Мордкович — Подробные Ответы

Даны две линейные функции \(у = k_1x + m_1, у = k_2x + m_2\). Подберите такие коэффициенты \(k_1, k_2, m_1, m_2\), чтобы графики линейных функций пересекались, причём обе функции были: а) возрастающими; б) убывающими.

\( y = k_1x + m_1,\quad y = k_2x + m_2 \) — пересекаются, значит, \( k_1 \ne k_2 \).

а) возрастающие функции при \( k > 0 \):
\[
y = \frac{1}{3}x + 4,\quad y = \frac{1}{2}x + 5.
\]

б) убывающие функции при \( k < 0 \):
\[
y = -\frac{3}{4}x — 7,\quad y = -\frac{1}{7}x + 9.
\]

Условия пересечения

1. Общая форма уравнения прямой:
Линейные функции можно записать в общем виде:
\[
y = kx + m
\]

где:
— \( k \) — угловой коэффициент (наклон линии),
— \( m \) — свободный член (значение \( y \), когда \( x = 0 \)).

2. Пересечение прямых:
Две прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты различны:
\[
k_1 \ne k_2
\]

Это означает, что наклоны линий различны, и, следовательно, они будут пересекаться в одной точке.

Пример а) Возрастающие функции при \( k > 0 \)

Рассмотрим две возрастающие функции:

1. Функции:
\[
y = \frac{1}{3}x + 4
\]

\[
y = \frac{1}{2}x + 5
\]

2. Анализ угловых коэффициентов:
— Угловой коэффициент первой функции:
\[
k_1 = \frac{1}{3} > 0
\]

— Угловой коэффициент второй функции:
\[
k_2 = \frac{1}{2} > 0
\]

3. Сравнение угловых коэффициентов:
— Поскольку \( k_1 \neq k_2 \) (так как \( \frac{1}{3} \neq \frac{1}{2} \)), функции пересекаются.

4. Графическое представление:
— График первой функции \( y = \frac{1}{3}x + 4 \) будет иметь более пологий наклон по сравнению с графиком второй функции \( y = \frac{1}{2}x + 5 \).
— Эти функции будут пересекаться в точке, которую можно найти, приравняв их правые части.

5. Нахождение точки пересечения:
Для нахождения точки пересечения приравняем уравнения:
\[
\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{2}x + 5
\]

Переместим все \( x \) на одну сторону:
\[
\frac{1}{3}x — \frac{1}{2}x = 5 — 4
\]

Приведем к общему знаменателю:
\[
\frac{2}{6}x — \frac{3}{6}x = 1
\]

Это упрощается до:
\[
-\frac{1}{6}x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -6
\]

Подставим значение \( x \) в одно из уравнений, чтобы найти \( y \):
\[
y = \frac{1}{3}(-6) + 4 = -2 + 4 = 2
\]

Таким образом, точка пересечения:
\[
(-6, 2)
\]

Пример б) Убывающие функции при \( k < 0 \)

Рассмотрим две убывающие функции:

1. Функции:
\[
y = -\frac{3}{4}x — 7
\]

\[
y = -\frac{1}{7}x + 9
\]

2. Анализ угловых коэффициентов:

— Угловой коэффициент первой функции:
\[
k_1 = -\frac{3}{4} < 0
\]

— Угловой коэффициент второй функции:
\[
k_2 = -\frac{1}{7} < 0
\]

3. Сравнение угловых коэффициентов:
— Поскольку \( k_1 \neq k_2 \) (так как \( -\frac{3}{4} \neq -\frac{1}{7} \)), функции пересекаются.

4. Графическое представление:
— График первой функции \( y = -\frac{3}{4}x — 7 \) будет иметь более крутой наклон по сравнению с графиком второй функции \( y = -\frac{1}{7}x + 9 \).
— Эти функции также будут пересекаться в точке, которую можно найти, приравняв их правые части.

5. Нахождение точки пересечения:
Для нахождения точки пересечения приравняем уравнения:
\[
-\frac{3}{4}x — 7 = -\frac{1}{7}x + 9
\]

Переместим все \( x \) на одну сторону:
\[
-\frac{3}{4}x + \frac{1}{7}x = 9 + 7
\]

Приведем к общему знаменателю:
\[
-\frac{21}{28}x + \frac{4}{28}x = 16
\]

Это упрощается до:
\[
-\frac{17}{28}x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{16 \cdot 28}{17} = -\frac{448}{17}
\]

Подставим значение \( x \) в одно из уравнений, чтобы найти \( y \):
\[
y = -\frac{3}{4}\left(-\frac{448}{17}\right) — 7 = \frac{336}{68} — 7 = \frac{336}{68} — \frac{476}{68} = -\frac{140}{68} = -\frac{35}{17}
\]

Таким образом, точка пересечения:
\[
\left(-\frac{448}{17}, -\frac{35}{17}\right)
\]

Итоговые результаты

— а) Возрастающие функции \( y = \frac{1}{3}x + 4 \) и \( y = \frac{1}{2}x + 5 \) пересекаются в точке \( (-6, 2) \).
— б) Убывающие функции \( y = -\frac{3}{4}x — 7 \) и \( y = -\frac{1}{7}x + 9 \) пересекаются в точке \( \left(-\frac{448}{17}, -\frac{35}{17}\right) \).