ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 14.22 Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
\frac{5x — 3 + 9y}{3} = \frac{2x + 3y — 2}{2}, \\
\frac{x — 3y}{2} = \frac{2x — 3y}{3};
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
\frac{2x — y}{6} + \frac{2x + y}{9} = 3, \\
\frac{x + y}{3} — \frac{x — y}{4} = 4;
\end{cases}
\]

в)
\[
\begin{cases}
\frac{x + 3 — 5y}{2} = \frac{3x — 4y + 3}{3}, \\
\frac{6 + 3x — y}{3} = \frac{12x — y}{4};
\end{cases}
\]

г)
\[
\begin{cases}
\frac{x + y}{8} + \frac{x — y}{6} = 5, \\
\frac{x + y}{4} + \frac{x — y}{5} = 10.
\end{cases}
\]

а)
\[
\begin{cases}
\frac{5x — 3 + 9y}{3} = \frac{2x + 3y — 2}{2} \\
\frac{x — 3y}{2} = \frac{2x — 3y}{3}
\end{cases}
\]

1. Умножаем первое уравнение на 6:
\[
2(5x — 3 + 9y) = 3(2x + 3y — 2) \quad \Rightarrow \quad 10x — 6 + 18y = 6x + 9y — 6
\]

Упрощаем:
\[
4x + 9y = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x = -9y \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{9}{4}y
\]

2. Умножаем второе уравнение на 6:
\[
3(x — 3y) = 2(2x — 3y) \quad \Rightarrow \quad 3x — 9y = 4x — 6y
\]

Упрощаем:
\[
-x — 3y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3y
\]

3. Подставляем \( x = -3y \) в \( x = -\frac{9}{4}y \):
\[
-3y = -\frac{9}{4}y \quad \Rightarrow \quad y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\]

Ответ: \( (0, 0) \)

б)
\[
\begin{cases}
\frac{2x — y}{6} + \frac{2x + y}{9} = 3 \\
\frac{x + y}{3} — \frac{x — y}{4} = 4
\end{cases}
\]

1. Умножаем первое уравнение на 18:
\[
3(2x — y) + 2(2x + y) = 54 \quad \Rightarrow \quad 6x — 3y + 4x + 2y = 54
\]

Упрощаем:
\[
10x — y = 54 \quad \Rightarrow \quad y = 10x — 54
\]

2. Умножаем второе уравнение на 12:
\[
4(x + y) — 3(x — y) = 48 \quad \Rightarrow \quad 4x + 4y — 3x + 3y = 48
\]

Упрощаем:
\[
x + 7y = 48
\]

3. Подставляем \( y = 10x — 54 \):
\[
x + 7(10x — 54) = 48 \quad \Rightarrow \quad 71x — 378 = 48
\]

\[
\quad \Rightarrow \quad 71x = 426 \quad \Rightarrow \quad x = 6
\]

\[
y = 10(6) — 54 = 6
\]

Ответ: \( (6, 6) \)

в)
\[
\begin{cases}
\frac{x + 3 — 5y}{2} = \frac{3x — 4y + 3}{3} \\
\frac{6 + 3x — y}{3} = \frac{12x — y}{4}
\end{cases}
\]

1. Умножаем первое уравнение на 6:
\[
3(x + 3 — 5y) = 2(3x — 4y + 3) \quad \Rightarrow \quad 3x + 9 — 15y = 6x — 8y + 6
\]

Упрощаем:
\[
-3x — 7y + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x + 7y = 3
\]

2. Умножаем второе уравнение на 12:
\[
4(6 + 3x — y) = 3(12x — y) \quad \Rightarrow \quad 24 + 12x — 4y = 36x — 3y
\]

Упрощаем:
\[
24 = 24x — y \quad \Rightarrow \quad y = 24x — 24
\]

3. Подставляем \( y = 24x — 24 \) в \( 3x + 7y = 3 \):
\[
3x + 7(24x — 24) = 3 \quad \Rightarrow \quad 3x + 168x — 168 = 3
\]

\[
\quad \Rightarrow \quad 171x = 171 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

\[
y = 0
\]

Ответ: \( (1, 0) \)

г)
\[
\begin{cases}
\frac{x + y}{8} + \frac{x — y}{6} = 5 \\
\frac{x + y}{4} + \frac{x — y}{5} = 10
\end{cases}
\]

1. Умножаем первое уравнение на 24:
\[
3(x + y) + 4(x — y) = 120 \quad \Rightarrow \quad 7x + y = 120
\]

2. Умножаем второе уравнение на 20:
\[
5(x + y) + 4(x — y) = 200 \quad \Rightarrow \quad 9x + y = 200
\]

3. Решаем систему:
\[
\begin{cases}
7x + y = 120 \\
9x + y = 200
\end{cases}
\]

Вычитая:
\[
2x = 80 \quad \Rightarrow \quad x = 20
\]

Подставляем:
\[
7(40) + y = 120 \quad \Rightarrow \quad y = 20
\]

Ответ: \( (20, 20) \)

а)
\[
\begin{cases}
\frac{5x — 3 + 9y}{3} = \frac{2x + 3y — 2}{2} \\
\frac{x — 3y}{2} = \frac{2x — 3y}{3}
\end{cases}
\]

1. Умножаем первое уравнение на 6:
\[
2(5x — 3 + 9y) = 3(2x + 3y — 2)
\]

Раскрываем скобки:
\[
10x — 6 + 18y = 6x + 9y — 6
\]

Упрощаем:
\[
10x — 6 + 18y + 6 = 6x + 9y
\]

\[
10x + 18y = 6x + 9y
\]

Переносим все члены в одну сторону:
\[
10x — 6x + 18y — 9y = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x + 9y = 0
\]

\[
\quad \Rightarrow \quad 4x = -9y \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{9}{4}y
\]

2. Умножаем второе уравнение на 6:
\[
3(x — 3y) = 2(2x — 3y)
\]

Раскрываем скобки:
\[
3x — 9y = 4x — 6y
\]

Упрощаем:
\[
3x — 9y + 6y = 4x \quad \Rightarrow \quad 3x — 3y = 4x
\]

Переносим все члены в одну сторону:
\[
-x — 3y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3y
\]

3. Подставляем \( x = -3y \) в \( x = -\frac{9}{4}y \):
\[
-3y = -\frac{9}{4}y
\]

Умножаем обе стороны на -1:
\[
3y = \frac{9}{4}y
\]

Переносим все члены в одну сторону:
\[
3y — \frac{9}{4}y = 0
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
\frac{12y — 9y}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3y}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0
\]

Подставляем \( y = 0 \) в \( x = -3y \):
\[
x = -3(0) = 0
\]

Ответ: \( (0, 0) \)

б)
\[
\begin{cases}
\frac{2x — y}{6} + \frac{2x + y}{9} = 3 \\
\frac{x + y}{3} — \frac{x — y}{4} = 4
\end{cases}
\]

1. Умножаем первое уравнение на 18:
\[
3(2x — y) + 2(2x + y) = 54
\]

Раскрываем скобки:
\[
6x — 3y + 4x + 2y = 54
\]

Упрощаем:
\[
10x — y = 54 \quad \Rightarrow \quad y = 10x — 54
\]

2. Умножаем второе уравнение на 12:
\[
4(x + y) — 3(x — y) = 48
\]

Раскрываем скобки:
\[
4x + 4y — 3x + 3y = 48
\]

Упрощаем:
\[
x + 7y = 48
\]

3. Подставляем \( y = 10x — 54 \) в \( x + 7y = 48 \):
\[
x + 7(10x — 54) = 48
\]

Раскрываем скобки:
\[
x + 70x — 378 = 48
\]

Упрощаем:
\[
71x — 378 = 48 \quad \Rightarrow \quad 71x = 426 \quad \Rightarrow \quad x = 6
\]

Подставляем \( x = 6 \) в \( y = 10x — 54 \):
\[
y = 10(6) — 54 = 60 — 54 = 6
\]

Ответ: \( (6, 6) \)

в)
\[
\begin{cases}
\frac{x + 3 — 5y}{2} = \frac{3x — 4y + 3}{3} \\
\frac{6 + 3x — y}{3} = \frac{12x — y}{4}
\end{cases}
\]

1. Умножаем первое уравнение на 6:
\[
3(x + 3 — 5y) = 2(3x — 4y + 3)
\]

Раскрываем скобки:
\[
3x + 9 — 15y = 6x — 8y + 6
\]

Упрощаем:
\[
3x + 9 — 15y — 6 = 6x — 8y \quad \Rightarrow \quad -3x — 7y + 3 = 0
\]

Переносим все члены в одну сторону:
\[
3x + 7y = 3
\]

2. Умножаем второе уравнение на 12:
\[
4(6 + 3x — y) = 3(12x — y)
\]

Раскрываем скобки:
\[
24 + 12x — 4y = 36x — 3y
\]

Упрощаем:
\[
24 = 24x — y \quad \Rightarrow \quad y = 24x — 24
\]

3. Подставляем \( y = 24x — 24 \) в \( 3x + 7y = 3 \):
\[
3x + 7(24x — 24) = 3
\]

Раскрываем скобки:
\[
3x + 168x — 168 = 3 \quad \Rightarrow \quad 171x — 168 = 3
\]

\[
\quad \Rightarrow \quad 171x = 171 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Подставляем \( x = 1 \) в \( y = 24x — 24 \):
\[
y = 24(1) — 24 = 0
\]

Ответ: \( (1, 0) \)

г)
\[
\begin{cases}
\frac{x + y}{8} + \frac{x — y}{6} = 5 \\
\frac{x + y}{4} + \frac{x — y}{5} = 10
\end{cases}
\]

1. Умножаем первое уравнение на 24:
\[
3(x + y) + 4(x — y) = 120
\]

Раскрываем скобки:
\[
3x + 3y + 4x — 4y = 120 \quad \Rightarrow \quad 7x — y = 120
\]

2. Умножаем второе уравнение на 20:
\[
5(x + y) + 4(x — y) = 200
\]

Раскрываем скобки:
\[
5x + 5y + 4x — 4y = 200 \quad \Rightarrow \quad 9x + y = 200
\]

3. Решаем систему:
\[
\begin{cases}
7x — y = 120 \\
9x + y = 200
\end{cases}
\]

Складываем уравнения:
\[
(7x — y) + (9x + y) = 120 + 200 \quad \Rightarrow \quad 16x = 320 \quad \Rightarrow \quad x = 20
\]

Подставляем \( x = 20 \) в \( 7x — y = 120 \):
\[
7(20) — y = 120 \quad \Rightarrow \quad 140 — y = 120 \quad \Rightarrow \quad y = 20
\]

Ответ: \( (20, 20) \)