ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.12 Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
\frac{y + 1}{3x — 4} = \frac{1}{2}, \\
\frac{5x + y}{3x + 11} = 1;
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
\frac{3x + 10}{y + 1} = \frac{1}{12}, \\
\frac{5x + y}{9x + 2y} = \frac{4}{5}.
\end{cases}
\]

а)
\[
\begin{cases}
\frac{y + 1}{3x — 4} = \frac{1}{2} \\
\frac{5x + y}{3x + 11} = 1
\end{cases}
\]

1. Первое уравнение:
\[
2(y + 1) = 3x — 4 \quad \Rightarrow \quad 2y + 2 = 3x — 4
\]

\[
\quad \Rightarrow \quad 2y = 3x — 6 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{2}x — 3
\]

2. Второе уравнение:
\[
5x + y = 3x + 11 \quad \Rightarrow \quad y = 3x + 11 — 5x \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 11
\]

3. Подставляем \( y \) из первого уравнения во второе:
\[
\frac{3}{2}x — 3 = -2x + 11
\]

Упрощаем:
\[
\frac{3}{2}x + 2x = 11 + 3 \quad \Rightarrow \quad \frac{7}{2}x = 14 \quad \Rightarrow \quad x = 4
\]

Подставляем \( x = 4 \) в \( y = -2x + 11 \):
\[
y = -2(4) + 11 = 3
\]

Ответ: \( (4, 3) \)

б)
\[
\begin{cases}
\frac{3x + 10}{y + 1} = \frac{1}{12} \\
\frac{5x + y}{9x + 2y} = \frac{4}{5}
\end{cases}
\]

1. Первое уравнение:
\[
12(3x + 10) = y + 1 \quad \Rightarrow \quad y = 36x + 120 — 1 \quad \Rightarrow \quad y = 36x + 119
\]

2. Второе уравнение:
\[
5(5x + y) = 4(9x + 2y) \quad \Rightarrow \quad 25x + 5y = 36x + 8y
\]

Упрощаем:
\[
25x — 36x + 5y — 8y = 0 \quad \Rightarrow \quad -11x — 3y =
\]

\[
0 \quad \Rightarrow \quad 3y = -11x \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{11}{3}x
\]

3. Подставляем \( y \) из первого уравнения во второе:
\[
36x + 119 = -\frac{11}{3}x
\]

Умножаем на 3:
\[
108x + 357 = -11x \quad \Rightarrow \quad 119x = -357 \quad \Rightarrow \quad x = -3
\]

Подставляем \( x = -3 \) в \( y = 36(-3) + 119 \):
\[
y = -108 + 119 = 11
\]

Ответ: \( (-3, 11) \)

а)
\[
\begin{cases}
\frac{y + 1}{3x — 4} = \frac{1}{2} \\
\frac{5x + y}{3x + 11} = 1
\end{cases}
\]

Шаг 1: Решение первого уравнения
Рассмотрим первое уравнение:
\[
\frac{y + 1}{3x — 4} = \frac{1}{2}
\]

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на \(2(3x — 4)\):
\[
2(y + 1) = 3x — 4
\]

Раскроем скобки:
\[
2y + 2 = 3x — 4
\]

Теперь перенесем все члены, содержащие \(y\), в одну сторону, а остальные в другую:
\[
2y = 3x — 4 — 2
\]

Упрощаем:
\[
2y = 3x — 6
\]

Теперь выразим \(y\):
\[
y = \frac{3}{2}x — 3 \quad \text{(1)}
\]

Шаг 2: Решение второго уравнения
Теперь рассмотрим второе уравнение:
\[
\frac{5x + y}{3x + 11} = 1
\]

Умножим обе стороны на \(3x + 11\):
\[
5x + y = 3x + 11
\]

Переносим все члены, содержащие \(y\), в одну сторону:
\[
y = 3x + 11 — 5x
\]

Упрощаем:
\[
y = -2x + 11 \quad \text{(2)}
\]

Шаг 3: Подстановка
Теперь подставим выражение для \(y\) из уравнения (1) во уравнение (2):
\[
\frac{3}{2}x — 3 = -2x + 11
\]

Приведем все термины к одной стороне:
\[
\frac{3}{2}x + 2x = 11 + 3
\]

Объединим \(x\):
\[
\frac{3}{2}x + \frac{4}{2}x = 14 \quad \Rightarrow \quad \frac{7}{2}x = 14
\]

Умножим обе стороны на \(\frac{2}{7}\):
\[
x = 14 \cdot \frac{2}{7} = 4
\]

Шаг 4: Найдем \(y\)
Теперь подставим найденное значение \(x\) в любое из уравнений для \(y\). Используем уравнение (1):
\[
y = \frac{3}{2}(4) — 3 = 6 — 3 = 3
\]

Ответ: \( (4, 3) \)

б)
\[
\begin{cases}
\frac{3x + 10}{y + 1} = \frac{1}{12} \\
\frac{5x + y}{9x + 2y} = \frac{4}{5}
\end{cases}
\]

Шаг 1: Решение первого уравнения
Рассмотрим первое уравнение:
\[
\frac{3x + 10}{y + 1} = \frac{1}{12}
\]

Умножим обе стороны на \(12(y + 1)\):
\[
12(3x + 10) = y + 1
\]

Раскроем скобки:
\[
36x + 120 = y + 1
\]

Переносим \(y\) в одну сторону:
\[
y = 36x + 120 — 1
\]

Упрощаем:
\[
y = 36x + 119 \quad \text{(3)}
\]

Шаг 2: Решение второго уравнения
Теперь рассмотрим второе уравнение:
\[
\frac{5x + y}{9x + 2y} = \frac{4}{5}
\]

Умножим обе стороны на \(5(9x + 2y)\):
\[
5(5x + y) = 4(9x + 2y)
\]

Раскроем скобки:
\[
25x + 5y = 36x + 8y
\]

Переносим все члены, содержащие \(y\), в одну сторону:
\[
25x — 36x = 8y — 5y
\]

Упрощаем:
\[
-11x = 3y \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{11}{3}x \quad \text{(4)}
\]

Шаг 3: Подстановка
Теперь подставим выражение для \(y\) из уравнения (4) в уравнение (3):
\[
-\frac{11}{3}x = 36x + 119
\]

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:
\[
-11x = 108x + 357
\]

Переносим все члены с \(x\) в одну сторону:
\[
-11x — 108x = 357 \quad \Rightarrow \quad -119x = 357
\]

Разделим обе стороны на -119:
\[
x = -\frac{357}{119} = -3
\]

Шаг 4: Найдем \(y\)
Теперь подставим найденное значение \(x\) в уравнение (3):
\[
y = 36(-3) + 119 = -108 + 119 = 11
\]

Ответ: \( (-3, 11) \)