ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 15.13 Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, проходящей через заданные точки: а) А(2; 3); В(-1; 4); б) С(-6; 7); D(4; 3); в) М(-3; -1); N (2; 5); г) Р(6; 2); Q (-1; -3)

Уравнение прямой: \( y = kx + m \)

а) Точки: \( A(2; 3) \) и \( B(-1; 4) \)

1. Система уравнений:
\[
\begin{cases}
3 = 2k + m \\
4 = -k + m
\end{cases}
\]

2. Решение:
— Из первого уравнения: \( m = 3 — 2k \)
— Подставляем во второе: \( 4 = -k + (3 — 2k) \)
— Упрощаем: \( 3k = -1 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{1}{3} \)
— \( m = 3 + \frac{1}{3} = \frac{11}{3} \)

Уравнение: \( y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3} \)

б) Точки: \( C(-6; 7) \) и \( D(4; 3) \)

1. Система уравнений:
\[
\begin{cases}
7 = -6k + m \\
3 = 4k + m
\end{cases}
\]

2. Решение:
— Из второго уравнения: \( m = 3 — 4k \)
— Подставляем в первое: \( 7 = -6k + (3 — 4k) \)
— Упрощаем: \( -10k = -4 \quad \Rightarrow \quad k = -0.4 \)
— \( m = 3 + 1.6 = 4.6 \)

Уравнение: \( y = -0.4x + 4.6 \)

в) Точки: \( M(-3; -1) \) и \( N(2; 5) \)

1. Система уравнений:
\[
\begin{cases}
-1 = -3k + m \\
5 = 2k + m
\end{cases}
\]

2. Решение:
— Из первого уравнения: \( m = -1 + 3k \)
— Подставляем во второе: \( 5 = 2k + (-1 + 3k) \)
— Упрощаем: \( 5 = 5k — 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{6}{5} \)
— \( m = 5 — \frac{12}{5} = \frac{13}{5} \)

Уравнение: \( y = 1.2x + 2.6 \)

г) Точки: \( P(6; 2) \) и \( Q(-1; -3) \)

1. Система уравнений:
\[
\begin{cases}
2 = 6k + m \\
-3 = -k + m
\end{cases}
\]

2. Решение:
— Из второго уравнения: \( m = -3 + k \)
— Подставляем в первое: \( 2 = 6k + (-3 + k) \)
— Упрощаем: \( 7k = 5 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{5}{7} \)
— \( m = -3 + \frac{5}{7} = -\frac{16}{7} \)

Уравнение: \( y = \frac{5}{7}x — \frac{16}{7} \)

Уравнение прямой: \( y = kx + m \)

а) Точки: \( A(2; 3) \) и \( B(-1; 4) \)

1. Подставим координаты точек в уравнение:
— Для точки \( A(2; 3) \):
\[
3 = 2k + m
\]

— Для точки \( B(-1; 4) \):
\[
4 = -k + m
\]

2. Запишем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
3 = 2k + m \quad (1) \\
4 = -k + m \quad (2)
\end{cases}
\]

3. Решим систему:
— Из уравнения (2) выразим \( m \):
\[
m = 4 + k
\]

— Подставим это значение в уравнение (1):
\[
3 = 2k + (4 + k)
\]

Упрощаем:
\[
3 = 3k + 4 \quad \Rightarrow \quad 3k = 3 — 4 \quad \Rightarrow \quad 3k = -1 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{1}{3}
\]

4. Теперь найдем \( m \):
\[
m = 4 + k = 4 — \frac{1}{3} = \frac{12}{3} — \frac{1}{3} = \frac{11}{3}
\]

5. Запишем уравнение прямой:
\[
y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}
\]

Перепишем \( m \) в смешанной форме:
\[
m = 3 \frac{2}{3}
\]

Таким образом, уравнение прямой:
\[
y = -\frac{1}{3}x + 3 \frac{2}{3}
\]

б) Точки: \( C(-6; 7) \) и \( D(4; 3) \)

1. Подставим координаты точек в уравнение:
— Для точки \( C(-6; 7) \):
\[
7 = -6k + m
\]

— Для точки \( D(4; 3) \):
\[
3 = 4k + m
\]

2. Запишем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
7 = -6k + m \quad (1) \\
3 = 4k + m \quad (2)
\end{cases}
\]

3. Решим систему:
— Из уравнения (2) выразим \( m \):
\[
m = 3 — 4k
\]

— Подставим это значение в уравнение (1):
\[
7 = -6k + (3 — 4k)
\]

Упрощаем:
\[
7 = -10k + 3 \quad \Rightarrow \quad -10k = 7 — 3 \quad \Rightarrow \quad -10k = 4 \quad \Rightarrow \quad k = -0.4
\]

4. Теперь найдем \( m \):
\[
m = 3 — 4(-0.4) = 3 + 1.6 = 4.6
\]

5. Запишем уравнение прямой:
\[
y = -0.4x + 4.6
\]

Таким образом, уравнение прямой:
\[
y = -0.4x + 4.6
\]

в) Точки: \( M(-3; -1) \) и \( N(2; 5) \)

1. Подставим координаты точек в уравнение:
— Для точки \( M(-3; -1) \):
\[
-1 = -3k + m
\]

— Для точки \( N(2; 5) \):
\[
5 = 2k + m
\]

2. Запишем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
-1 = -3k + m \quad (1) \\
5 = 2k + m \quad (2)
\end{cases}
\]

3. Решим систему:
— Из уравнения (1) выразим \( m \):
\[
m = -1 + 3k
\]

— Подставим это значение в уравнение (2):
\[
5 = 2k + (-1 + 3k)
\]

Упрощаем:
\[
5 = 5k — 1 \quad \Rightarrow \quad 5k = 5 + 1 \quad \Rightarrow \quad 5k = 6 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{6}{5}
\]

4. Теперь найдем \( m \):
\[
m = 5 — 2\left(\frac{6}{5}\right) = 5 — \frac{12}{5} = \frac{25}{5} — \frac{12}{5} = \frac{13}{5}
\]

5. Запишем уравнение прямой:
\[
y = \frac{6}{5}x + \frac{13}{5}
\]

В десятичной форме:
\[
m = 2.6
\]

Таким образом, уравнение прямой:
\[
y = 1.2x + 2.6
\]

г) Точки: \( P(6; 2) \) и \( Q(-1; -3) \)

1. Подставим координаты точек в уравнение:
— Для точки \( P(6; 2) \):
\[
2 = 6k + m
\]

— Для точки \( Q(-1; -3) \):
\[
-3 = -k + m
\]

2. Запишем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
2 = 6k + m \quad (1) \\
-3 = -k + m \quad (2)
\end{cases}
\]

3. Решим систему:
— Из уравнения (2) выразим \( m \):
\[
m = -3 + k
\]

— Подставим это значение в уравнение (1):
\[
2 = 6k + (-3 + k)
\]

Упрощаем:
\[
2 = 7k — 3 \quad \Rightarrow \quad 7k = 2 + 3 \quad \Rightarrow \quad 7k = 5 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{5}{7}
\]

4. Теперь найдем \( m \):
\[
m = -3 + \frac{5}{7} = -\frac{21}{7} + \frac{5}{7} = -\frac{16}{7}
\]

5. Запишем уравнение прямой:
\[
y = \frac{5}{7}x — \frac{16}{7}
\]

В смешанной форме:
\[
m = -2 \frac{2}{7}
\]

Таким образом, уравнение прямой:
\[
y = \frac{5}{7}x — 2 \frac{2}{7}
\]

Итоговые уравнения:

— а) \( y = -\frac{1}{3}x + 3 \frac{2}{3} \)
— б) \( y = -0.4x + 4.6 \)
-в) \( y = 1.2x + 2.6 \)
— г) \( y = \frac{5}{7}x — 2 \frac{2}{7} \)