Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.25 Мордкович — Подробные Ответы
На велогонке по гористой местности спортсмен должен был двигаться сначала с горы, потом в гору, а затем в обратном направлении. Путь туда велосипедист преодолел с горы за 20 мин, в гору за 45 мин, а путь обратно — с горы за 25 мин, в гору за 35 мин. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы, если путь в одном направлении равен 17 км?
Пусть скорость с горы равна v₁ км/ч, а в гору — v₂ км/ч.
Время переводим в часы:
20 мин = 1/3 ч, 45 мин = 3/4 ч, 25 мин = 5/12 ч, 35 мин = 7/12 ч.
Путь в одном направлении 17 км, значит:
1) Путь туда: v₁·(1/3) + v₂·(3/4) = 17;
2) Путь обратно: v₁·(5/12) + v₂·(7/12) = 17.
Умножим оба уравнения на 12:
1) 4v₁ + 9v₂ = 204;
2) 5v₁ + 7v₂ = 204.
Вычитаем первое из второго: (5v₁ − 4v₁) + (7v₂ − 9v₂) = 0 ⇒ v₁ − 2v₂ = 0 ⇒ v₁ = 2v₂.
Подставим в 4v₁ + 9v₂ = 204:
4·(2v₂) + 9v₂ = 204 ⇒ 8v₂ + 9v₂ = 204 ⇒ 17v₂ = 204 ⇒ v₂ = 12 км/ч.
Тогда v₁ = 2·12 = 24 км/ч.
Ответ: скорость в гору 12 км/ч, с горы 24 км/ч.
Задача.
На велогонке по гористой местности спортсмен должен был двигаться сначала с горы,
потом в гору, а затем в обратном направлении по тому же пути. Путь в одном направлении
равен 17 км. Известно, что путь туда велосипедист преодолел: с горы за 20 минут,
в гору за 45 минут, а путь обратно — с горы за 25 минут, в гору за 35 минут.
Требуется найти скорость велосипедиста в гору и с горы.
Вводим обозначения
Обозначим скорость велосипедиста с горы через vс (км/ч),
а скорость в гору через vв (км/ч).
Переводим время в часы
20 минут = 20/60 = 1/3 часа;
45 минут = 45/60 = 3/4 часа;
25 минут = 25/60 = 5/12 часа;
35 минут = 35/60 = 7/12 часа.
Записываем расстояние
Путь в одном направлении равен 17 км.
Путь туда (от старта к финишу):
с горы: пройденное расстояние = vс · (1/3);
в гору: пройденное расстояние = vв · (3/4).
Тогда:
vс · 1/3 + vв · 3/4 = 17. (1)
Путь обратно (от финиша к старту):
с горы: расстояние = vс · (5/12);
в гору: расстояние = vв · (7/12).
Общий путь также равен 17 км, поэтому:
vс · 5/12 + vв · 7/12 = 17. (2)
Приводим уравнение к удобному виду
Умножим оба уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей.
Из (1): 12 · (vс/3 + 3vв/4) ⇒ 4vс + 9vв = 204. (1′)
Из (2): 12 · (5vс/12 + 7vв/12) ⇒ 5vс + 7vв = 204. (2′)
Решаем систему
Имеем систему:
4vс + 9vв = 204;
5vс + 7vв = 204.
Вычтем первое уравнение из второго:
(5vс − 4vс) + (7vв − 9vв) = 204 − 204;
vс − 2vв = 0.
Отсюда:
vс = 2vв.
Подставим это в первое уравнение (1′):
4 · (2vв) + 9vв = 204;
8vв + 9vв = 204;
17vв = 204;
vв = 204 / 17 = 12 (км/ч).
Тогда скорость с горы:
vс = 2 · 12 = 24 (км/ч).
Проверка
Путь туда:
с горы: 24 · (1/3) = 8 км;
в гору: 12 · (3/4) = 9 км;
вместе: 8 + 9 = 17 км.
Путь обратно:
с горы: 24 · (5/12) = 10 км;
в гору: 12 · (7/12) = 7 км;
вместе: 10 + 7 = 17 км.
В обоих случаях получаем 17 км, значит решение верное.
Ответ
Скорость велосипедиста в гору: 12 км/ч.
Скорость велосипедиста с горы: 24 км/ч.
