ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.27 Мордкович — Подробные Ответы

По окружности, длина которой 100 см, движутся равномерно две точки. Они встречаются через каждые 4 с, двигаясь в противоположных направлениях, и через каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Найдите скорости этих точек.

1)
\( v_1 + v_2 = \frac{100}{4} \)

\( v_1 + v_2 = 25 \)

2)
\( v_1 — v_2 = \frac{100}{20} \)

\( v_1 — v_2 = 5 \)

3)
\( 2v_1 = 25 + 5 \)

\( 2v_1 = 30 \)

\( v_1 = 15 \)

Ответы:
\( 15 + v_2 = 25 \)

\( v_2 = 25 — 15 \)

\( v_2 = 10 \)

Условие: Скорости двух точек на окружности 100 см, если они встречаются каждые 4 с в противоположных направлениях и каждые 20 с в одном направлении.

Решение:
Пусть \(v_1\) и \(v_2\)
— скорости точек (см/с).
Длина окружности \(L = 100\) см.

При движении в противоположных направлениях:
Относительная скорость \(v_{отн1} = v_1 + v_2\).
Время до встречи \(t_1 = 4\)
с.
\(L = v_{отн1} \cdot t_1\)

\(100 = (v_1 + v_2) \cdot 4\)

\(v_1 + v_2 = \frac{100}{4}\)

\(v_1 + v_2 = 25\)
(1)

При движении в одном направлении:
Относительная скорость \(v_{отн2} = |v_1 — v_2|\).
Время до встречи \(t_2 = 20\) с.
\(L = v_{отн2} \cdot t_2\)

\(100 = |v_1 — v_2| \cdot 20\)

\(|v_1 — v_2| = \frac{100}{20}\)

\(|v_1 — v_2| = 5\)

(2)

Из (2) следует два случая:
Случай 1: \(v_1 — v_2 = 5\)

Случай 2: \(v_1 — v_2 = -5\)
(или \(v_2 — v_1 = 5\))

Рассмотрим Случай 1:
\(v_1 + v_2 = 25\)
(1)
\(v_1 — v_2 = 5\)
(из Случая 1)
Складываем уравнения:
\(2v_1 = 30\)

\(v_1 = 15\)

Подставляем \(v_1\) в (1):
\(15 + v_2 = 25\)

\(v_2 = 10\)

Рассмотрим Случай 2:
\(v_1 + v_2 = 25\)
(1)
\(v_2 — v_1 = 5\)
(из Случая 2)
Складываем уравнения:
\(2v_2 = 30\)

\(v_2 = 15\)

Подставляем \(v_2\) в (1):
\(v_1 + 15 = 25\)

\(v_1 = 10\)

Таким образом, скорости точек равны 15 см/с и 10 см/с.

Ответы: 15 см/с и 10 см/с