ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.32 Мордкович — Подробные Ответы

Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 6 и в остатке 3. Если же разделить его на сумму цифр, увеличенную на 2, то в частном получится 5 и в остатке 5. Найдите исходное число.

1)
\( 10a + b = 6(a+b) + 3 \)

\( 10a + b = 6a + 6b + 3 \)

\( 4a — 5b = 3 \)

2)
\( 10a + b = 5(a+b+2) + 5 \)

\( 10a + b = 5a + 5b + 10 + 5 \)

\( 5a — 4b = 15 \)

3)
\( 4a — 5b = 3 \)

\( 5a — 4b = 15 \)

4)
\( 16a — 20b = 12 \)

\( 25a — 20b = 75 \)

5)
\( 25a — 16a = 75 — 12 \)

\( 9a = 63 \)

\( a = 7 \)

6)
\( 4(7) — 5b = 3 \)

\( 28 — 5b = 3 \)

\( 5b = 25 \)

\( b = 5 \)

Ответ: \( 75 \)

Условие: Найти двузначное число по условиям деления на сумму его цифр.

Решение:
Пусть искомое число равно \(10a + b\), где \(a\)
— цифра десятков, \(b\)
— цифра единиц.
\( 10a + b = 6(a + b) + 3 \)
— первое условие
\( 10a + b = 6a + 6b + 3 \)
— раскрываем скобки
\( 4a — 5b = 3 \)
— упрощаем уравнение

\( 10a + b = 5((a + b) + 2) + 5 \)
— второе условие
\( 10a + b = 5(a + b + 2) + 5 \)
— раскрываем скобки
\( 10a + b = 5a + 5b + 10 + 5 \)
— раскрываем скобки
\( 10a + b = 5a + 5b + 15 \)
— упрощаем
\( 5a — 4b = 15 \)
— упрощаем уравнение

Теперь решаем систему уравнений:
\( \begin{cases} 4a — 5b = 3 \\ 5a — 4b = 15 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 5, второе на 4:
\( \begin{cases} 20a — 25b = 15 \\ 20a — 16b = 60 \end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго:
\( (20a — 16b) — (20a — 25b) = 60 — 15 \)

\( 9b = 45 \)
— вычитаем уравнения
\( b = 5 \)
— делим на 9

Подставим \(b = 5\)
в первое уравнение системы:
\( 4a — 5(5) = 3 \)

\( 4a — 25 = 3 \)

\( 4a = 28 \)
— переносим
\( a = 7 \)
— делим на 4

Исходное число \(10a + b = 10(7) + 5 = 75\).

Проверка первого условия: \(75 / (7+5) = 75 / 12 = 6\)
с остатком \(3\). Верно.
Проверка второго условия: \(75 / (7+5+2) = 75 / 14 = 5\)
с остатком \(5\). Верно.

Ответ: \( 75 \)