ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.36 Мордкович — Подробные Ответы

Купили некоторое количество яблок по 30 р. за 1 кг и некоторое количество груш по 38 р. за 1 кг. Масса яблок и масса груш выражена целыми числами (в кг). Сколько всего купили фруктов, если за покупку заплатили 400 р.?

Обозначим количество яблок в килограммах как \( x \), а количество груш как \( y \).

Составим уравнение

1. Уравнение стоимости:
\[
30x + 38y = 400
\]

Упрощение уравнения

Разделим уравнение на 2 для упрощения:
\[
15x + 19y = 200
\]

Поиск целых решений

Теперь решим это уравнение, подбирая целые значения для \( x \) и \( y \).

1. Подберем значения \( y \):
— Если \( y = 0 \):
\[
15x = 200 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{200}{15} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( y = 1 \):
\[
15x + 19 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = 181 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{181}{15} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( y = 2 \):
\[
15x + 38 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = 162 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{162}{15} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( y = 3 \):
\[
15x + 57 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = 143 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{143}{15} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( y = 4 \):
\[
15x + 76 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = 124 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{124}{15} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( y = 5 \):
\[
15x + 95 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = 105 \quad \Rightarrow \quad x = 7
\]

— Если \( y = 6 \):
\[
15x + 114 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = 86 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{86}{15} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( y = 7 \):
\[
15x + 133 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = 67 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{67}{15} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( y = 8 \):
\[
15x + 152 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = 48 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{48}{15} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( y = 9 \):
\[
15x + 171 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = 29 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{29}{15} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( y = 10 \):
\[
15x + 190 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10}{15} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( y = 11 \):
\[
15x + 209 = 200 \quad \Rightarrow \quad 15x = -9 \text{ (нецелое)}
\]

Итоговое решение

Таким образом, единственное целое решение:
— \( x = 7 \) (яблок)
— \( y = 5 \) (груш)

Общее количество фруктов:
\[
x + y = 7 + 5 = 12 \text{ кг}
\]

Ответ: 12 кг* фруктов.

Условие задачи

Купили некоторое количество яблок по 30 рублей за 1 кг и некоторое количество груш по 38 рублей за 1 кг. Общая сумма, потраченная на покупку, составила 400 рублей. Нужно определить, сколько всего фруктов было куплено, если масса яблок и масса груш выражена целыми числами (в кг).

Обозначим переменные

— Пусть \( x \) — масса яблок в килограммах.
— Пусть \( y \) — масса груш в килограммах.

Составим уравнения

1. Уравнение по общей массе:
Общая масса фруктов составляет:
\[
x + y = \text{(всего кг фруктов)}
\]

2. Уравнение по стоимости:
Сумма, потраченная на яблоки и груши, равна 400 рублей:
\[
30x + 38y = 400
\]

Упрощение уравнений

Рассмотрим уравнение стоимости:
\[
30x + 38y = 400
\]

Это уравнение можно упростить, разделив все его коэффициенты на 2:
\[
15x + 19y = 200
\]

Теперь у нас есть система уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = M \quad (1) \\
15x + 19y = 200 \quad (2)
\end{cases}
\]

где \( M \) — это общее количество фруктов, которое нам нужно найти.

Решение системы уравнений

1. Из первого уравнения выразим \( y \):
\[
y = M — x
\]

2. Подставим это значение во второе уравнение:
\[
15x + 19(M — x) = 200
\]

Раскроем скобки:
\[
15x + 19M — 19x = 200
\]

Упрощаем:
\[
-4x + 19M = 200
\]

Перепишем уравнение:
\[
4x = 19M — 200
\]

\[
x = \frac{19M — 200}{4}
\]

Подбор целых значений

Поскольку \( x \) должно быть целым числом, \( 19M — 200 \) должно делиться на 4. Проверим различные целые значения для \( M \) (общее количество фруктов).

1. Проверим, какие значения \( M \) подходят:
— Если \( M = 12 \):
\[
19 \cdot 12 — 200 = 228 — 200 = 28 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{28}{4} = 7
\]

Тогда \( y = 12 — 7 = 5 \).

— Если \( M = 13 \):
\[
19 \cdot 13 — 200 = 247 — 200 = 47 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{47}{4} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( M = 14 \):
\[
19 \cdot 14 — 200 = 266 — 200 = 66 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{66}{4} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( M = 15 \):
\[
19 \cdot 15 — 200 = 285 — 200 = 85 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{85}{4} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( M = 16 \):
\[
19 \cdot 16 — 200 = 304 — 200 = 104 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{104}{4} = 26
\]

Тогда \( y = 16 — 26 \text{ (отрицательное значение)} \).

— Если \( M = 17 \):
\[
19 \cdot 17 — 200 = 323 — 200 = 123 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{123}{4} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( M = 18 \):
\[
19 \cdot 18 — 200 = 342 — 200 = 142 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{142}{4} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( M = 19 \):
\[
19 \cdot 19 — 200 = 361 — 200 = 161 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{161}{4} \text{ (нецелое)}
\]

— Если \( M = 20 \):
\[
19 \cdot 20 — 200 = 380 — 200 = 180 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{180}{4} = 45
\]

Тогда \( y = 20 — 45 \text{ (отрицательное значение)} \).

Итоговое решение

Таким образом, единственное целое решение:
— \( x = 7 \) (масса яблок)
— \( y = 5 \) (масса груш)

Общее количество фруктов:
\[
x + y = 7 + 5 = 12 \text{ кг}
\]

Проверка

1. Проверка стоимости:
— Масса яблок: \( 7 \) кг по \( 30 \) рублей:
\[
7 \cdot 30 = 210 \text{ рублей}
\]

— Масса груш: \( 5 \) кг по \( 38 \) рублей:
\[
5 \cdot 38 = 190 \text{ рублей}
\]

— Общая стоимость:
\[
210 + 190 = 400 \text{ рублей} \text{ (верно)}
\]

Ответ

Таким образом, всего купили 12 кг фруктов (7 кг яблок и 5 кг груш).