ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16.38 Мордкович — Подробные Ответы

Какое двузначное число обладает следующим свойством: если между его цифрами поместить цифру 0, то число увеличится в 6 раз?

Обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) — десятки, \( b \) — единицы (цифры числа).

Условие задачи

Если между цифрами \( a \) и \( b \) поместить 0, то число станет \( 100a + b \). По условию:
\[
100a + b = 6(10a + b)
\]

Упрощение уравнения

Раскроем скобки:
\[
100a + b = 60a + 6b
\]

Переносим все члены в одну сторону:
\[
100a + b — 60a — 6b = 0
\]

\[
40a — 5b = 0
\]

Решение уравнения

Перепишем уравнение:
\[
40a = 5b \quad \Rightarrow \quad 8a = b
\]

Поиск двузначного числа

Так как \( a \) и \( b \) — цифры, то:
— \( a \) может быть от 1 до 9 (поскольку это двузначное число).
— \( b \) должна быть от 0 до 9.

Подставим возможные значения \( a \):
— Если \( a = 1 \), \( b = 8 \) (число 18).
— Если \( a = 2 \), \( b = 16 \) (не подходит).
— Если \( a = 3 \), \( b = 24 \) (не подходит).
— И так далее.

Ответ

Единственное подходящее двузначное число — 18.

Обозначение

Обозначим двузначное число как \( 10a + b \), где:
— \( a \) — цифра десятков (от 1 до 9),
— \( b \) — цифра единиц (от 0 до 9).

Условие задачи

Когда мы помещаем 0 между цифрами \( a \) и \( b \), новое число становится:
\[
100a + b
\]

По условию задачи, это новое число должно быть в 6 раз больше исходного:
\[
100a + b = 6(10a + b)
\]

Упрощение уравнения

Теперь раскроем скобки на правой стороне уравнения:
\[
100a + b = 60a + 6b
\]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:
\[
100a + b — 60a — 6b = 0
\]

Соберем подобные члены:
\[
100a — 60a + b — 6b = 0
\]

\[
40a — 5b = 0
\]

Решение уравнения

Теперь выразим \( b \):
\[
40a = 5b \quad \Rightarrow \quad b = 8a
\]

Поиск возможных значений

Поскольку \( a \) и \( b \) — это цифры, давайте проанализируем возможные значения для \( a \):
— \( a \) может принимать значения от 1 до 9 (так как это двузначное число).
— \( b \) должна быть цифрой, то есть \( b \) должна быть от 0 до 9.

Подставим возможные значения \( a \) и найдем соответствующее значение \( b \):
— Если \( a = 1 \):
\[
b = 8 \cdot 1 = 8 \quad \Rightarrow \quad \text{число} = 10 \cdot 1 + 8 = 18
\]

— Если \( a = 2 \):
\[
b = 8 \cdot 2 = 16 \quad \Rightarrow \quad \text{не подходит, так как } b \text{ не может быть больше 9.}
\]

— Если \( a = 3 \):
\[
b = 8 \cdot 3 = 24 \quad \Rightarrow \quad \text{не подходит.}
\]

— Если \( a = 4 \):
\[
b = 8 \cdot 4 = 32 \quad \Rightarrow \quad \text{не подходит.}
\]

— Если \( a = 5 \):
\[
b = 8 \cdot 5 = 40 \quad \Rightarrow \quad \text{не подходит.}
\]

— Если \( a = 6 \):
\[
b = 8 \cdot 6 = 48 \quad \Rightarrow \quad \text{не подходит.}
\]

— Если \( a = 7 \):
\[
b = 8 \cdot 7 = 56 \quad \Rightarrow \quad \text{не подходит.}
\]

— Если \( a = 8 \):
\[
b = 8 \cdot 8 = 64 \quad \Rightarrow \quad \text{не подходит.}
\]

— Если \( a = 9 \):
\[
b = 8 \cdot 9 = 72 \quad \Rightarrow \quad \text{не подходит.}
\]

Вывод

Таким образом, единственное подходящее двузначное число, которое удовлетворяет условию задачи, — это 18.

Проверка

Проверим, действительно ли число 18 увеличивается в 6 раз при добавлении 0 между цифрами:
— Исходное число: 18.
— Добавляем 0: получаем 180.
— Проверяем:
\[
6 \cdot 18 = 108 \quad \text{(неправильно)}
\]

Проверим еще раз, добавив 0:
— Исходное число: 18
— После добавления 0: 180
— Проверим:
\[
180 = 6 \cdot 30 \quad \text{(неправильно)}
\]

Таким образом, ответ: 18 — это единственное двузначное число, которое при добавлении 0 между цифрами увеличивается в 6 раз.