ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.20 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наиболее рациональным способом значение выражения: Преобразуем выражения, использовав правило умножения степеней с одинаковым показателем. А также правило деления степеней с одинаковым основанием.

а) \(\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^6} = \frac{6^8}{6^6} = 6^2 = 36.\)

б) \(\frac{3^5 \cdot 4^5}{12^3} = \frac{12^5}{12^3} = 12^2 = 144.\)

в) \(\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^{10}} = \frac{63^{11}}{63^{10}} = 63.\)

г) \(\frac{2^8 \cdot 8^8}{16^7} = \frac{16^8}{16^7} = 16.\)

а) Решение \(\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^6}\)

1. Исходное выражение:
\[
\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^6}
\]

2. Запись \(6\) через \(2\) и \(3\):
Мы знаем, что \(6 = 2 \cdot 3\). Следовательно, можно записать \(6^6\) как:
\[
6^6 = (2 \cdot 3)^6 = 2^6 \cdot 3^6
\]

3. Подстановка:
Подставим это обратно в исходное выражение:
\[
\frac{2^8 \cdot 3^8}{2^6 \cdot 3^6}
\]

4. Упрощение дроби:
Теперь мы можем упростить дробь, вычитая показатели степеней:
\[
= \frac{2^{8-6} \cdot 3^{8-6}}{1} = 2^2 \cdot 3^2
\]

5. Вычисление:
Теперь вычислим:
\[
2^2 = 4, \quad 3^2 = 9
\]

Таким образом:
\[
2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36
\]

б) Решение \(\frac{3^5 \cdot 4^5}{12^3}\)

1. Исходное выражение:
\[
\frac{3^5 \cdot 4^5}{12^3}
\]

2. Запись \(12\) через \(3\) и \(4\):
Мы знаем, что \(12 = 3 \cdot 4\). Следовательно, можно записать \(12^3\) как:
\[
12^3 = (3 \cdot 4)^3 = 3^3 \cdot 4^3
\]

3. Подстановка:
Подставим это обратно в дробь:
\[
\frac{3^5 \cdot 4^5}{3^3 \cdot 4^3}
\]

4. Упрощение дроби:
Упрощаем дробь, вычитая показатели степеней:
\[
= \frac{3^{5-3} \cdot 4^{5-3}}{1} = 3^2 \cdot 4^2
\]

5. Вычисление:
Теперь вычислим:
\[
3^2 = 9, \quad 4^2 = 16
\]

Таким образом:
\[
3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144
\]

в) Решение \(\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^{10}}\)

1. Исходное выражение:
\[
\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^{10}}
\]

2. Запись \(63\) через \(7\) и \(9\):
Мы знаем, что \(63 = 7 \cdot 9\). Следовательно, можно записать \(63^{10}\) как:
\[
63^{10} = (7 \cdot 9)^{10} = 7^{10} \cdot 9^{10}
\]

3. Подстановка:
Подставим это обратно в дробь:
\[
\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{7^{10} \cdot 9^{10}}
\]

4. Упрощение дроби:
Упрощаем дробь, вычитая показатели степеней:
\[
= \frac{7^{11-10} \cdot 9^{11-10}}{1} = 7^1 \cdot 9^1 = 7 \cdot 9
\]

5. Вычисление:
Теперь вычислим:
\[
7 \cdot 9 = 63
\]

г) Решение \(\frac{2^8 \cdot 8^8}{16^7}\)

1. Исходное выражение:
\[
\frac{2^8 \cdot 8^8}{16^7}
\]

2. Запись \(8\) и \(16\) через \(2\):
Мы знаем, что \(8 = 2^3\) и \(16 = 2^4\). Следовательно, можно записать:
\[
8^8 = (2^3)^8 = 2^{24}, \quad 16^7 = (2^4)^7 = 2^{28}
\]

3. Подстановка:
Подставим эти значения обратно в дробь:
\[
\frac{2^8 \cdot 2^{24}}{2^{28}}
\]

4. Упрощение дроби:
Упрощаем дробь, складывая показатели в числителе и вычитая в знаменателе:
\[
= \frac{2^{8+24}}{2^{28}} = \frac{2^{32}}{2^{28}} = 2^{32-28} = 2^4
\]

5. Вычисление:
Теперь вычислим:
\[
2^4 = 16
\]