ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.24 Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \(\frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3;\)

б) \(\frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x^2} = 100.\)

а) \(\frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3 \Rightarrow \frac{(2x)^8 \cdot 2}{((2)^2 x)^3 \cdot 2^3 x^4} = -3\)

\(\Rightarrow \frac{2^8 x^8 \cdot 2}{2^6 x^3 \cdot 2^3 x^4} = -3 \Rightarrow \frac{2^9 x^8}{2^9 x^7} = -3 \Rightarrow x = -3.\)

б) \(\frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x^2} = 100 \Rightarrow \frac{(5x)^{11} \cdot 5^2}{((5^2)x^2)^4 \cdot 5^3 x^2} = 100\)

\(\Rightarrow \frac{5^{11} x^{11} \cdot 5^2}{5^8 \cdot x^8 \cdot 5^3 x^2} = 100 \Rightarrow \frac{5^{13} x^{11}}{5^{11} x^{10}} = 100\)

\(\Rightarrow 5^2 x = 100 \Rightarrow 25x = 100 \Rightarrow x = 4.\)

а) Уравнение

\[
\frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3
\]

1. Исходное уравнение:
\[
\frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3
\]

2. Упрощение числителя:
В числителе мы можем использовать свойства степеней:
\[
(2x)^5 \cdot (2x)^3 = (2^5 \cdot x^5) \cdot (2^3 \cdot x^3) = 2^{5+3} \cdot x^{5+3} = 2^8 \cdot x^8
\]

Таким образом, числитель становится:
\[
2^8 \cdot x^8 \cdot 2 = 2^9 \cdot x^8
\]

3. Упрощение знаменателя:
В знаменателе:
\[
(4x)^3 = (2^2 x)^3 = 2^6 \cdot x^3
\]

А также:
\[
8x^4 = 2^3 \cdot x^4
\]

Таким образом, знаменатель становится:
\[
(4x)^3 \cdot 8x^4 = (2^6 \cdot x^3) \cdot (2^3 \cdot x^4) = 2^{6+3} \cdot x^{3+4} = 2^9 \cdot x^7
\]

4. Подстановка в уравнение:
Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в уравнение:
\[
\frac{2^9 \cdot x^8}{2^9 \cdot x^7} = -3
\]

5. Сокращение:
Сократим \(2^9\) и \(x^7\):
\[
\frac{x^8}{x^7} = x
\]

Получаем:
\[
x = -3
\]

6. Ответ:
Таким образом, решение уравнения:
\[
x = -3
\]

б) Уравнение

\[
\frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x^2} = 100
\]

1. Исходное уравнение:
\[
\frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x^2} = 100
\]

2. Упрощение числителя:

В числителе:
\[
(5x)^7 \cdot (5x)^4 = (5^7 \cdot x^7) \cdot (5^4 \cdot x^4) = 5^{7+4} \cdot x^{7+4} = 5^{11} \cdot x^{11}
\]

Также \(25 = 5^2\), поэтому числитель становится:
\[
5^{11} \cdot x^{11} \cdot 5^2 = 5^{13} \cdot x^{11}
\]

3. Упрощение знаменателя:
В знаменателе:
\[
(25x^2)^4 = (5^2 x^2)^4 = 5^{8} \cdot x^{8}
\]

А также:
\[
125x^2 = 5^3 \cdot x^2
\]

Таким образом, знаменатель становится:
\[
(25x^2)^4 \cdot 125x^2 = (5^{8} \cdot x^{8}) \cdot (5^3 \cdot x^2) = 5^{8+3} \cdot x^{8+2} = 5^{11} \cdot x^{10}
\]

4. Подстановка в уравнение:
Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в уравнение:
\[
\frac{5^{13} \cdot x^{11}}{5^{11} \cdot x^{10}} = 100
\]

5. Сокращение:
Сократим \(5^{11}\) и \(x^{10}\):
\[
\frac{5^{13}}{5^{11}} = 5^{13-11} = 5^2
\]

И:
\[
\frac{x^{11}}{x^{10}} = x^{11-10} = x
\]

Таким образом, получаем:
\[
5^2 \cdot x = 100
\]

6. Решение уравнения:
Поскольку \(5^2 = 25\), подставим это значение:
\[
25x = 100
\]

Делим обе стороны на 25:
\[
x = \frac{100}{25} = 4
\]

7. Ответ:
Таким образом, решение уравнения:
\[
x = 4
\]