ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 24.17 Мордкович — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде длина в \(2\) раза больше ширины, а высота в \(4\) раза больше ширины.
Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен \(1000\ \text{см}^3\).

Пусть ширина прямоугольного параллелепипеда равна \( x \) см,
тогда его длина равна \( 2x \) см, высота равна \( 4x \) см.

Составим уравнение:

\[
V = abc
\]

\[
V = x \cdot 2x \cdot 4x
\]

\[
1000 = 8x^{3}
\]

\[
x^{3} = 125
\]

\[
x = 5 \text{ (см)} — \text{ширина.}
\]

\[
2x = 2 \cdot 5 = 10 \text{ (см)} — \text{длина.}
\]

\[
4x = 4 \cdot 5 = 20 \text{ (см)} — \text{высота.}
\]

1 способ

Пусть \( a \) см — длина, \( b \) см — ширина, \( c \) см — высота
прямоугольного параллелепипеда.
\( a = 2b \)
\( c = 4b \)
\( V_{\text{парал}} = 1000 \text{см}^3 \)

Составим систему уравнений:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a \cdot b \cdot c = 1000 \\
a = 2b \\
c = 4b
\end{array}
\right.
\quad
\Rightarrow
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
a \cdot b \cdot c = 1000 \\
a = 2b \\
c = 2a
\end{array}
\right.
\quad
\Rightarrow
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
2b \cdot b \cdot 4b = 1000 \\
a = 2b \\
c = 4b
\end{array}
\right.
\]

\[
\left\{
\begin{array}{l}
8b^{3} = 1000 \\
a = 2b \\
c = 4b
\end{array}
\right.
\quad
\Rightarrow
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
b^{3} = 125 \\
a = 2b \\
c = 4b
\end{array}
\right.
\quad
\Rightarrow
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
b = 5 \text{ (см)} — \text{ширина} \\
a = 10 \text{ (см)} — \text{длина} \\
c = 20 \text{ (см)} — \text{высота}
\end{array}
\right.
\]

Ответ: 10 см — длина, 5 см — ширина, 20 см — высота.

2 способ

Пусть \( x \) см — ширина, \( 2x \) см — длина, \( 4x \) см — высота
прямоугольного параллелепипеда.

Составим уравнение:

\[
V_{\text{парал}} = x \cdot 2x \cdot 4x = 1000 \text{см}^3
\]

\[
8x^{3} = 1000
\]

\[
x^{3} = 125
\]

\[
x = 5 \text{ (см)} — \text{ширина прямоугольного параллелепипеда.}
\]

\[
2x = 2 \cdot 5 = 10 \text{ (см)} — \text{длина.}
\]

\[
4x = 4 \cdot 5 = 20 \text{ (см)} — \text{высота.}
\]

Рассмотрим задачу на нахождение измерений прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его объём равен \( 1000 \text{см}^3 \), длина в 2 раза больше ширины, а высота в 4 раза больше ширины.

Первый способ (через одну переменную)

Обозначим ширину параллелепипеда за \( x \) сантиметров.
Тогда:
— длина = \( 2x \) см (в 2 раза больше ширины),
— высота = \( 4x \) см (в 4 раза больше ширины).

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

\[
V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}
\]

Подставим выражения через \( x \):

\[
V = x \cdot 2x \cdot 4x
\]

Выполним умножение:

\[
x \cdot 2x = 2x^{2}, \quad 2x^{2} \cdot 4x = 8x^{3}
\]

Известно, что объём равен \( 1000 \text{см}^3 \), следовательно:

\[
8x^{3} = 1000
\]

Разделим обе части уравнения на 8:
\[
x^{3} = \frac{1000}{8} = 125
\]

Извлечём кубический корень:
\[
x = \sqrt[3]{125} = 5
\]

Теперь найдём все измерения:
— ширина: \( x = 5 \text{см} \),
— длина: \( 2x = 2 \cdot 5 = 10 \text{см} \),
— высота: \( 4x = 4 \cdot 5 = 20 \text{см} \).

Проверка:
\[
5 \cdot 10 \cdot 20 = 1000 \text{см}^3
\]
— условие выполнено.

Второй способ (через систему уравнений)

Обозначим:
— \( a \) — длина (см),
— \( b \) — ширина (см),
— \( c \) — высота (см).

Из условия:
— \( a = 2b \) (длина в 2 раза больше ширины),
— \( c = 4b \) (высота в 4 раза больше ширины),
— \( abc = 1000 \) (объём).

Составим систему:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a \cdot b \cdot c = 1000 \\
a = 2b \\
c = 4b
\end{array}
\right.
\]

Подставим \( a \) и \( c \) в уравнение объёма:
\[
(2b) \cdot b \cdot (4b) = 1000
\]

\[
8b^{3} = 1000
\]

\[
b^{3} = 125
\]

\[
b = 5
\]

Тогда:
— \( a = 2b = 10 \),
— \( c = 4b = 20 \).

Таким образом, получаем те же значения.

Ответ:
ширина — \( 5 \text{см} \),
длина — \( 10 \text{см} \),
высота — \( 20 \text{см} \).