ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 24.18 Мордкович — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде длина в \(2\) раза больше ширины, а высота составляет \(\frac{5}{2}\) длины.
Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен \(640\ \text{м}^3\).

Пусть ширина прямоугольного параллелепипеда равна \( x \) см,
тогда его длина равна \( 2x \) см, высота равна \( \frac{5}{2} \cdot 2x = 5x \) см.

Составим уравнение:

\[
V = abc
\]

\[
V = x \cdot 2x \cdot 5x
\]

\[
640 = 10x^{3}
\]

\[
x^{3} = 64
\]

\[
x = 4 \text{ (см)} — \text{ширина.}
\]

\[
2x = 2 \cdot 4 = 8 \text{ (см)} — \text{длина.}
\]

\[
5x = 5 \cdot 4 = 20 \text{ (см)} — \text{высота.}
\]

1 способ

Пусть \( a \) м — длина, \( b \) м — ширина, \( c \) м — высота прямоугольного параллелепипеда.
\( a = 2b \)
\( c = \frac{5}{2}a \)
\( V_{\text{парал}} = 640 \text{м}^3 \)

Составим систему уравнений:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a \cdot b \cdot c = 640 \\
a = 2b \\
c = 2{,}5a
\end{array}
\right.
\quad
\Rightarrow
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
2b \cdot b \cdot 5b = 640 \\
a = 2b \\
c = 5b
\end{array}
\right.
\quad
\Rightarrow
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
10b^{3} = 640 \\
a = 2b \\
c = 5b
\end{array}
\right.
\]

\[
\left\{
\begin{array}{l}
b^{3} = 64 \\
a = 2b \\
c = 5b
\end{array}
\right.
\quad
\Rightarrow
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
b = 4 \text{ (м)} — \text{ширина} \\
a = 8 \text{ (м)} — \text{длина} \\
c = 20 \text{ (м)} — \text{высота}
\end{array}
\right.
\]

Ответ: 8 м — длина, 4 м — ширина, 20 м — высота.

2 способ

Пусть \( x \) см — ширина, \( 2x \) см — длина, \( \frac{5}{2} \cdot 2x = 5x \) м — высота
прямоугольного параллелепипеда.

Составим уравнение:

\[
V_{\text{парал}} = x \cdot 2x \cdot 5x = 640 \text{м}^3
\]

\[
10x^{3} = 640
\]

\[
x^{3} = 64
\]

\[
x = 4 \text{ (м)} — \text{ширина прямоугольного параллелепипеда.}
\]

\[
2x = 2 \cdot 4 = 8 \text{ (м)} — \text{длина.}
\]

\[
5x = 5 \cdot 4 = 20 \text{ (м)} — \text{высота.}
\]

Известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен \( 640 \text{м}^3 \).
Длина в 2 раза больше ширины, а высота составляет \( \frac{5}{2} \) от длины.
Требуется найти все три измерения параллелепипеда.

Первый способ (через одну переменную)

Обозначим ширину параллелепипеда как \( x \) метров.
Тогда:
— длина \( = 2x \) м (в 2 раза больше ширины),
— высота \( = \frac{5}{2} \cdot \text{длина} = \frac{5}{2} \cdot 2x = 5x \) м.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
\[
V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}
\]

Подставим выражения через \( x \):
\[
V = x \cdot 2x \cdot 5x
\]

Выполним умножение:
\[
x \cdot 2x = 2x^{2}, \quad 2x^{2} \cdot 5x = 10x^{3}
\]

По условию \( V = 640 \), поэтому:
\[
10x^{3} = 640
\]

Разделим обе части на 10:
\[
x^{3} = 64
\]

Извлечём кубический корень:
\[
x = \sqrt[3]{64} = 4
\]

Теперь найдём все измерения:
— ширина: \( x = 4 \text{м} \),
— длина: \( 2x = 2 \cdot 4 = 8 \text{м} \),
— высота: \( 5x = 5 \cdot 4 = 20 \text{м} \).

Проверка:
\[
4 \cdot 8 \cdot 20 = 640 \text{м}^3
\]
— условие выполнено.

Второй способ (через систему уравнений)

Обозначим:
— \( a \) — длина (в м),
— \( b \) — ширина (в м),
— \( c \) — высота (в м).

Из условия задачи:
— \( a = 2b \) (длина вдвое больше ширины),
— \( c = \frac{5}{2}a = 2{,}5a \) (высота — \( \frac{5}{2} \) от длины),
— \( abc = 640 \) (объём известен).

Составим систему уравнений:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a \cdot b \cdot c = 640 \\
a = 2b \\
c = \frac{5}{2}a
\end{array}
\right.
\]

Подставим \( a = 2b \) в выражение для \( c \):
\[
c = \frac{5}{2} \cdot 2b = 5b
\]

Теперь подставим \( a = 2b \) и \( c = 5b \) в уравнение объёма:
\[
(2b) \cdot b \cdot (5b) = 640
\]

\[
10b^{3} = 640
\]

\[
b^{3} = 64
\]

\[
b = 4
\]

Тогда:
— \( a = 2b = 8 \),
— \( c = 5b = 20 \).

Получены те же значения, что и в первом способе.

Ответ:
ширина — \( 4 \text{м} \),
длина — \( 8 \text{м} \),
высота — \( 20 \text{м} \).