Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 25.25 Мордкович — Подробные Ответы
Для выполнения практической работы ученик получил три квадрата. Сторона первого квадрата в 2 раза меньше стороны третьего, а сторона второго составляет \( \frac{2}{3} \) стороны третьего квадрата. Найдите сторону каждого квадрата, если сумма их площадей равна \( 61\ \text{см}^2 \).
Пусть \( x \) см — сторона третьего квадрата, тогда \( \frac{x}{2} \) см — сторона первого квадрата и \( \frac{2}{3}x \) см — сторона второго квадрата.
Сумма площадей квадратов равна 61 см².
Составим уравнение:
\[
x^2 + \left( \frac{x}{2} \right)^2 + \left( \frac{2}{3}x \right)^2 = 61
\]
\[
x^2 + \frac{1}{4}x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 61
\]
\[
\left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{4}{9} \right)x^2 = 61
\]
\[
\frac{36 + 9 + 16}{36}x^2 = 61
\]
\[
\frac{61}{36}x^2 = 61
\]
\[
x^2 = 61 : \frac{61}{36} = 61 \cdot \frac{36}{61}
\]
\[
x^2 = 36
\]
\[
x = 6 \text{ (см)} — \text{сторона третьего квадрата.}
\]
\[
6 : 2 = 3 \text{ (см)} — \text{сторона первого квадрата.}
\]
\[
\frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 4 \text{ (см)} — \text{сторона второго квадрата.}
\]
Ответ: 3 см, 4 см и 6 см.
Пусть \( x \) см — сторона третьего квадрата. Тогда сторона первого квадрата равна \( \frac{x}{2} \) см, так как она составляет половину стороны третьего. Сторона второго квадрата равна \( \frac{2}{3}x \) см, потому что она составляет две трети стороны третьего. Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны. Следовательно, площадь первого квадрата равна \( \left( \frac{x}{2} \right)^2 = \frac{x^2}{4} \), площадь второго квадрата равна \( \left( \frac{2}{3}x \right)^2 = \frac{4}{9}x^2 \), а площадь третьего квадрата равна \( x^2 \). По условию сумма этих площадей равна 61 см². Составим уравнение:
\[
x^2 + \frac{x^2}{4} + \frac{4}{9}x^2 = 61
\]
Вынесем общий множитель \( x^2 \) за скобки:
\[
\left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{4}{9} \right) x^2 = 61
\]
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель чисел 1, 4 и 9 равен 36. Представим каждое слагаемое со знаменателем 36:
\[
1 = \frac{36}{36}, \quad \frac{1}{4} = \frac{9}{36}, \quad \frac{4}{9} = \frac{16}{36}
\]
Сложим числители:
\[
\frac{36}{36} + \frac{9}{36} + \frac{16}{36} = \frac{61}{36}
\]
Подставим обратно в уравнение:
\[
\frac{61}{36}x^2 = 61
\]
Разделим обе части уравнения на 61:
\[
\frac{1}{36}x^2 = 1
\]
Умножим обе части на 36:
\[
x^2 = 36
\]
Извлечём квадратный корень, учитывая, что длина стороны положительна:
\[
x = 6
\]
Таким образом, сторона третьего квадрата равна 6 см. Найдём сторону первого квадрата:
\[
\frac{x}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}
\]
Найдём сторону второго квадрата:
\[
\frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{12}{3} = 4 \text{ см}
\]
Проверим: площадь первого квадрата \( 3^2 = 9 \), второго \( 4^2 = 16 \), третьего \( 6^2 = 36 \). Сумма: \( 9 + 16 + 36 = 61 \), что совпадает с условием задачи.
Ответ: 3 см, 4 см и 6 см.
