ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 25.26 Мордкович — Подробные Ответы

Ученик изготовил три куба. Ребро первого куба в 3 раза больше, чем ребро второго, а ребро третьего составляет \( \frac{4}{3} \) от ребра первого. Найдите ребро каждого куба, если объём первого куба на \( 296\ \text{см}^3 \) меньше объёма третьего куба.

Пусть \( x \) см ребро второго куба, тогда \( 3x \) см ребро первого куба, а ребро третьего куба равно \( \frac{4}{3} \cdot 3x = 4x \) см.

Составим уравнение:
\[
(4x)^{3} — (3x)^{3} = 296 — \text{(объем первого меньше объема третьего)}
\]

\[
64x^{3} — 27x^{3} = 296
\]

\[
37x^{3} = 296
\]

\[
x^{3} = 8
\]

\[
x = 2 \text{ (см)} — \text{ребро второго куба.}
\]

\[
3x = 3 \cdot 2 = 6 \text{ (см)} — \text{ребро первого куба.}
\]

\[
4x = 4 \cdot 2 = 8 \text{ (см)} — \text{ребро третьего куба.}
\]

Ответ: 6 см, 2 см и 8 см.

Обозначим длину ребра второго куба через \( x \) сантиметров.
Тогда ребро первого куба равно \( 3x \) см, поскольку оно в 3 раза больше ребра второго куба.
Ребро третьего куба составляет \( \frac{4}{3} \) от ребра первого, то есть
\[
\frac{4}{3} \cdot 3x = 4x \text{ см}.
\]

Объём куба вычисляется по формуле \( V = a^{3} \), где \( a \) — длина ребра.
Следовательно, объём первого куба:
\[
(3x)^{3} = 27x^{3},
\]
объём третьего куба:

\[
(4x)^{3} = 64x^{3}.
\]

По условию, разность объёмов третьего и первого кубов равна 296 см³:
\[
64x^{3} — 27x^{3} = 296.
\]

Выполним вычитание:
\[
37x^{3} = 296.
\]

Разделим обе части уравнения на 37:
\[
x^{3} = 8.
\]

Извлечём кубический корень:
\[
x = 2.
\]

Найдём рёбра всех трёх кубов:
ребро второго куба: \( x = 2 \) см,
ребро первого куба: \( 3x = 6 \) см,
ребро третьего куба: \( 4x = 8 \) см.

Проверка:
объём первого куба: \( 6^{3} = 216 \) см³,
объём третьего куба: \( 8^{3} = 512 \) см³,
разность: \( 512 — 216 = 296 \) см³ — соответствует условию.

Ответ: 6 см, 2 см и 8 см.