Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 25.40 Мордкович — Подробные Ответы
В прямоугольном параллелепипеде ширина в \( 2 \) раза меньше высоты и составляет \( \frac{4}{5} \) его длины. Найдите измерения параллелепипеда, если площадь его поверхности равна \( 736\ \text{м}^2 \).
Пусть \( x \) м длина, тогда \( \frac{4}{5}x \) м ширина, и \( \frac{4}{5} \cdot 2x = \frac{8}{5}x \) м высота.
Составим уравнение:
\[
S_{\text{поверх}} = 2(ab + bc + ac)
\]
\[
2\left( x \cdot \frac{4}{5}x + x \cdot \frac{8}{5}x + \frac{8}{5}x \cdot \frac{4}{5}x \right) = 736 \quad | : 2
\]
\[
\frac{4}{5}x^2 + \frac{8}{5}x^2 + \frac{32}{25}x^2 = 368
\]
\[
\frac{4 \cdot 5x^2 + 8 \cdot 5x^2 + 32x^2}{25} = 368
\]
\[
\frac{20x^2 + 40x^2 + 32x^2}{25} = 368
\]
\[
\frac{92x^2}{25} = 368
\]
\[
x^2 = 368 \cdot 25 : 92
\]
\[
x^2 = 9200 : 92
\]
\[
x^2 = 100
\]
\[
x = 10 \text{ (м)} — \text{длина.}
\]
\[
\frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot 10 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ (м)} — \text{ширина.}
\]
\[
\frac{8}{5}x = \frac{8}{5} \cdot 10 = 8 \cdot 2 = 16 \text{ (м)} — \text{высота.}
\]
Ответ: 10 м, 8 м и 16 м.
Пусть \( x \) м — длина прямоугольного параллелепипеда.
По условию, ширина составляет \( \frac{4}{5} \) от длины, поэтому ширина равна \( \frac{4}{5}x \) м.
Высота в 2 раза больше ширины, следовательно:
\[
\text{высота} = 2 \cdot \frac{4}{5}x = \frac{8}{5}x \text{ м}.
\]
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
\[
S_{\text{поверх}} = 2(ab + bc + ac),
\]
где \( a, b, c \) — три измерения тела. Возьмём:
\( a = x \) (длина),
\( b = \frac{4}{5}x \) (ширина),
\( c = \frac{8}{5}x \) (высота).
Подставим эти выражения в формулу площади:
\[
2\left( x \cdot \frac{4}{5}x + x \cdot \frac{8}{5}x + \frac{4}{5}x \cdot \frac{8}{5}x \right) = 736.
\]
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
\[
x \cdot \frac{4}{5}x + x \cdot \frac{8}{5}x + \frac{4}{5}x \cdot \frac{8}{5}x = 368.
\]
Вычислим каждое произведение:
\[
x \cdot \frac{4}{5}x = \frac{4}{5}x^2, \quad x \cdot \frac{8}{5}x = \frac{8}{5}x^2, \quad \frac{4}{5}x \cdot \frac{8}{5}x = \frac{32}{25}x^2.
\]
Теперь сложим все три слагаемых:
\[
\frac{4}{5}x^2 + \frac{8}{5}x^2 + \frac{32}{25}x^2.
\]
Приведём к общему знаменателю 25:
\[
\frac{4}{5}x^2 = \frac{20}{25}x^2, \quad \frac{8}{5}x^2 = \frac{40}{25}x^2, \quad \frac{32}{25}x^2 \text{ остаётся без изменений}.
\]
Сложим числители:
\[
\frac{20 + 40 + 32}{25}x^2 = \frac{92}{25}x^2.
\]
Получаем уравнение:
\[
\frac{92}{25}x^2 = 368.
\]
Решим его. Умножим обе части на 25:
\[
92x^2 = 368 \cdot 25.
\]
Вычислим правую часть:
\[
368 \cdot 25 = (300 + 60 + 8) \cdot 25 = 7500 + 1500 + 200 = 9200.
\]
Таким образом:
\[
92x^2 = 9200.
\]
Разделим обе части на 92:
\[
x^2 = \frac{9200}{92} = 100.
\]
Извлечём квадратный корень (берём положительное значение, так как длина не может быть отрицательной):
\[
x = \sqrt{100} = 10.
\]
Итак, длина равна \( x = 10 \) м.
Ширина:
\[
\frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot 10 = 8 \text{ м}.
\]
Высота:
\[
\frac{8}{5}x = \frac{8}{5} \cdot 10 = 16 \text{ м}.
\]
Проверим площадь поверхности:
\( ab = 10 \cdot 8 = 80 \),
\( bc = 8 \cdot 16 = 128 \),
\( ac = 10 \cdot 16 = 160 \).
Сумма: \( 80 + 128 + 160 = 368 \).
Полная площадь: \( 2 \cdot 368 = 736 \) м² — совпадает с условием.
Ответ: 10 м, 8 м и 16 м.
