Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 25.41 Мордкович — Подробные Ответы
Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как \( 2 : 3 : 5 \), а площадь его поверхности равна \( 62\ \text{дм}^2 \). Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда.
Пусть \( x \) приходится на одну часть. Тогда \( 2x \) дм ширина,
\( 3x \) дм длина, а \( 5x \) дм высота.
Составим уравнение:
\[
S_{\text{поверх}} = 2(ab + bc + ac)
\]
\[
2 \cdot (2x \cdot 3x + 2x \cdot 5x + 3x \cdot 5x) = 62 \quad | : 2
\]
\[
6x^{2} + 10x^{2} + 15x^{2} = 31
\]
\[
31x^{2} = 31
\]
\[
x^{2} = 1
\]
\[
x = 1 — \text{приходится на одну часть.}
\]
\[
2x = 2 \cdot 1 = 2 \text{ (дм)} — \text{ширина.}
\]
\[
3x = 3 \cdot 1 = 3 \text{ (дм)} — \text{длина.}
\]
\[
5x = 5 \cdot 1 = 5 \text{ (дм)} — \text{высота.}
\]
Ответ: 2 дм, 3 дм и 5 дм.
Рассмотрим задачу, в которой требуется найти измерения прямоугольного параллелепипеда, если известна площадь его поверхности и соотношение сторон.
Пусть одна часть отношения равна \( x \) дециметрам.
Согласно условию, измерения параллелепипеда относятся как \( 2 : 3 : 5 \).
Тогда:
ширина \( = 2x \) дм,
длина \( = 3x \) дм,
высота \( = 5x \) дм.
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
\[
S_{\text{поверх}} = 2(ab + bc + ac)
\]
где \( a, b, c \) — три измерения параллелепипеда.
Подставим \( a = 2x \), \( b = 3x \), \( c = 5x \):
\[
S = 2 \cdot \big( (2x)(3x) + (3x)(5x) + (2x)(5x) \big)
\]
Вычислим каждое произведение:
\( 2x \cdot 3x = 6x^{2} \),
\( 3x \cdot 5x = 15x^{2} \),
\( 2x \cdot 5x = 10x^{2} \).
Сумма внутри скобок:
\[
6x^{2} + 15x^{2} + 10x^{2} = 31x^{2}
\]
Тогда площадь поверхности:
\[
S = 2 \cdot 31x^{2} = 62x^{2}
\]
По условию площадь поверхности равна 62 дм², следовательно:
\[
62x^{2} = 62
\]
Разделим обе части уравнения на 62:
\[
x^{2} = 1
\]
Отсюда \( x = 1 \) (отрицательное значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
Теперь найдём измерения:
ширина: \( 2x = 2 \cdot 1 = 2 \) дм,
длина: \( 3x = 3 \cdot 1 = 3 \) дм,
высота: \( 5x = 5 \cdot 1 = 5 \) дм.
Проверка:
\[
S = 2(2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 5) = 2(6 + 15 + 10) = 2 \cdot 31 = 62 \text{ дм}^2
\]
— условие выполнено.
Ответ: 2 дм, 3 дм и 5 дм.
