Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 27.19 Мордкович — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \(\frac{(7x)^{11} \cdot (49x)^2 \cdot 7}{(7x^2)^3 \cdot (343x)^4} = 56\);
б) \(\frac{(3x)^9 \cdot (9x^4)^3 \cdot x^2}{(3x^3)^5 \cdot (27x)^3} = -96.\)
а) \(\frac{(7x)^{11} \cdot (49x)^2 \cdot 7}{(7x^2)^3 \cdot (343x)^4} = 56\)
\(\frac{7^{11}x^{11} \cdot (7^2)^2x^2 \cdot 7}{7^3x^6 \cdot (7^3)^4x^4} = 56\)
\(\frac{7^{11} \cdot 7^4 \cdot 7 \cdot x^{13}}{7^3 \cdot 7^{12} \cdot x^{10}} = 56\)
\(\frac{7^{16}x^{13}}{7^{15}x^{10}} = 56\)
\(7x^3 = 56\)
\(x^3 = 8\)
\(x = 2.\)
б) \(\frac{(3x)^9 \cdot (9x^4)^3 \cdot x^2}{(3x^3)^5 \cdot (27x)^3} = -96\)
\(\frac{3^9x^9 \cdot (3^2)^3x^{12} \cdot x^2}{3^5x^{15} \cdot (3^3)^3x^3} = -96\)
\(\frac{3^9 \cdot 3^6 \cdot x^{23}}{3^5 \cdot 3^9 \cdot x^{18}} = -96\)
\(\frac{3^{15}x^5}{3^{14}} = -96\)
\(3x^5 = -96\)
\(x^5 = -32\)
\(x = -2.\)
а)
Исходное выражение:
\[
\frac{(7x)^{11} \cdot (49x)^2 \cdot 7}{(7x^2)^3 \cdot (343x)^4}
\]
Шаг 1: Возведение в степень
Сначала разложим каждое выражение по степеням.
Для \((7x)^{11}\):
\[
(7x)^{11} = 7^{11} \cdot x^{11}
\]
Для \((49x)^2\):
\[
(49x)^2 = (7^2 \cdot x)^2 = 7^4 \cdot x^2
\]
Для \(7\):
\[
7 = 7^1
\]
Теперь подставим это в числитель:
\[
7^{11} \cdot x^{11} \cdot 7^4 \cdot x^2 \cdot 7^1 = 7^{11+4+1} \cdot x^{11+2} = 7^{16} \cdot x^{13}
\]
Шаг 2: Обработка знаменателя
Теперь займемся знаменателем:
Для \((7x^2)^3\):
\[
(7x^2)^3 = 7^3 \cdot (x^2)^3 = 7^3 \cdot x^6
\]
Для \((343x)^4\):
\[
(343x)^4 = (7^3 \cdot x)^4 = 7^{12} \cdot x^4
\]
Теперь подставим это в знаменатель:
\[
(7^3 \cdot x^6) \cdot (7^{12} \cdot x^4) = 7^{3+12} \cdot x^{6+4} = 7^{15} \cdot x^{10}
\]
Шаг 3: Запись итогового выражения
Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:
\[
\frac{7^{16} \cdot x^{13}}{7^{15} \cdot x^{10}}
\]
Шаг 4: Деление коэффициентов и степеней
1. Делим числовые коэффициенты:
\[
\frac{7^{16}}{7^{15}} = 7^{16-15} = 7^1 = 7
\]
2. Делим степени переменных:
\[
\frac{x^{13}}{x^{10}} = x^{13-10} = x^3
\]
Таким образом, получаем:
\[
7x^3
\]
Шаг 5: Уравнение
Теперь приравняем к 56:
\[
7x^3 = 56
\]
Шаг 6: Решение уравнения
Разделим обе стороны на 7:
\[
x^3 = \frac{56}{7} = 8
\]
Теперь извлечем корень:
\[
x = \sqrt[3]{8} = 2
\]
Окончательный результат:
\[
x = 2
\]
б)
Исходное выражение:
\[
\frac{(3x)^9 \cdot (9x^4)^3 \cdot x^2}{(3x^3)^5 \cdot (27x)^3}
\]
Шаг 1: Возведение в степень
Сначала разложим каждое выражение по степеням.
Для \((3x)^9\):
\[
(3x)^9 = 3^9 \cdot x^9
\]
Для \((9x^4)^3\):
\[
(9x^4)^3 = (3^2 \cdot x^4)^3 = (3^2)^3 \cdot (x^4)^3 = 3^6 \cdot x^{12}
\]
Для \(x^2\):
\[
x^2 = x^2
\]
Теперь подставим это в числитель:
\[
3^9 \cdot x^9 \cdot 3^6 \cdot x^{12} \cdot x^2 = 3^{9+6} \cdot x^{9+12+2} = 3^{15} \cdot x^{23}
\]
Шаг 2: Обработка знаменателя
Теперь займемся знаменателем:
Для \((3x^3)^5\):
\[
(3x^3)^5 = 3^5 \cdot (x^3)^5 = 3^5 \cdot x^{15}
\]
Для \((27x)^3\):
\[
(27x)^3 = (3^3 \cdot x)^3 = 3^{9} \cdot x^3
\]
Теперь подставим это в знаменатель:
\[
(3^5 \cdot x^{15}) \cdot (3^9 \cdot x^3) = 3^{5+9} \cdot x^{15+3} = 3^{14} \cdot x^{18}
\]
Шаг 3: Запись итогового выражения
Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:
\[
\frac{3^{15} \cdot x^{23}}{3^{14} \cdot x^{18}}
\]
Шаг 4: Деление коэффициентов и степеней
1. Делим числовые коэффициенты:
\[
\frac{3^{15}}{3^{14}} = 3^{15-14} = 3^1 = 3
\]
2. Делим степени переменных:
\[
\frac{x^{23}}{x^{18}} = x^{23-18} = x^5
\]
Таким образом, получаем:
\[
3x^5
\]
Шаг 5: Уравнение
Теперь приравняем к -96:
\[
3x^5 = -96
\]
Шаг 6: Решение уравнения
Разделим обе стороны на 3:
\[
x^5 = \frac{-96}{3} = -32
\]
Теперь извлечем корень:
\[
x = \sqrt[5]{-32} = -2
\]
Окончательный результат:
\[
x = -2
\]
