ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.1 Мордкович — Подробные Ответы

Установите, какие из данных выражений являются многочленами:

а) \( 3a + 4b \)
б) \( 5x^2 — 3y^2 \)
в) \( 5(5x^2 — 12y^2) \)
г) \( (a + 1)(b — 2) \)

Все данные выражения являются многочленами:
а) \( 3a + 4b \)
б) \( 5x^2 — 3y^2 \)
в) \( 5(5x^2 — 12y^2) \)
г) \( (a + 1)(b — 2) \)

а) Выражение \( 3a + 4b \) состоит из двух одночленов: \( 3a \) и \( 4b \). Каждый из них представляет собой произведение числового коэффициента и переменной в первой степени. Сумма одночленов по определению является многочленом, поэтому \( 3a + 4b \) — многочлен первой степени.

б) Выражение \( 5x^2 — 3y^2 \) состоит из двух одночленов: \( 5x^2 \) и \( -3y^2 \). Оба одночлена являются произведениями чисел и переменных, возведённых в натуральную степень (степень 2). Их сумма (разность) также является многочленом — в данном случае многочленом второй степени.

в) Выражение \( 5(5x^2 — 12y^2) \) сначала выглядит как произведение числа и разности, но его можно упростить, раскрыв скобки:
\[
5 \cdot 5x^2 — 5 \cdot 12y^2 = 25x^2 — 60y^2.
\]

Полученное выражение — сумма двух одночленов, то есть многочлен второй степени. Даже до раскрытия скобок данное выражение представляет собой многочлен, так как оно эквивалентно многочлену после упрощения.

г) Выражение \( (a + 1)(b — 2) \) записано в виде произведения двух двучленов. Раскроем скобки:
\[
(a + 1)(b — 2) = ab — 2a + b — 2.
\]

Результат — сумма четырёх одночленов: \( ab \), \( -2a \), \( b \), \( -2 \). Все степени переменных — целые и неотрицательные, следовательно, это многочлен первой степени по каждой переменной (общая степень — вторая из-за члена \( ab \)).

Таким образом, все перечисленные выражения являются многочленами.