ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.10 Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \[
4p^{3} \cdot 2p + 3p^{2} \cdot 4p + 2p^{2} \cdot 2p^{2} — 2p^{3} \cdot 4
\]

б) \[
x \cdot \frac{2x}{3} + \frac{x}{4} + 0{,}8x — x \cdot \frac{x}{6} — x
\]

в) \[
y \cdot 2y — 3y — y^{2} — 5 + 2y \cdot y — y \cdot 5 + y \cdot 7y^{2}
\]

г) \[
-\frac{5}{6} \cdot a^{2} + \frac{a}{3} — 0{,}6a^{2} + a \cdot 0{,}1a
\]

а) \( 4p^3 \cdot 2p + 3p^2 \cdot 4p + 2p^2 \cdot 2p^2 — 2p^3 \cdot 4 = \)
\( = 8p^4 + 12p^3 + 4p^4 — 8p^3 = 12p^4 + 4p^3 \).

б) \( x \cdot \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}x + 0{,}8x — x \cdot \frac{1}{6}x — x = \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{8}{10}x — \frac{1}{6}x^2 — x = \)
\( = \frac{4}{6}x^2 — \frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{4}{5}x — x = \frac{3}{6}x^2 + \frac{5}{20}x + \frac{16}{20}x — x = \)
\( = 0{,}5x^2 + \frac{21}{20}x — x = 0{,}5x^2 + 1\frac{1}{20}x — x = 0{,}5x^2 + 0{,}05x \).

в) \( y \cdot 2y — 3y — y^2 — 5 + 2yy — y \cdot 5 + y \cdot 7y^2 = \)
\( = 2y^2 — 3y — y^2 — 5 + 2y^2 — 5y + 7y^3 = 7y^3 + 3y^2 — 8y — 5 \).

г) \( \frac{5}{6}aa + \frac{1}{3}a — 0{,}6aa + a \cdot 0{,}1a = \frac{5}{6}a^2 + \frac{1}{3}a — \frac{6}{10}a^2 + \frac{1}{10}a^2 = \)
\( = \frac{5a^2 \cdot 5 — 6a^2 \cdot 3 + 3a^2}{30} + \frac{1}{3}a = \frac{25a^2 — 18a^2 + 3a^2}{30} + \frac{1}{3}a = \)
\( = \frac{10a^2}{30} + \frac{1}{3}a = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{3}a \).

а) Рассмотрим выражение \( 4p^3 \cdot 2p + 3p^2 \cdot 4p + 2p^2 \cdot 2p^2 — 2p^3 \cdot 4 \). Выполним умножение в каждом слагаемом отдельно. Первое слагаемое: \( 4p^3 \cdot 2p = (4 \cdot 2) \cdot p^{3+1} = 8p^4 \). Второе: \( 3p^2 \cdot 4p = (3 \cdot 4) \cdot p^{2+1} = 12p^3 \). Третье: \( 2p^2 \cdot 2p^2 = (2 \cdot 2) \cdot p^{2+2} = 4p^4 \). Четвёртое: \( -2p^3 \cdot 4 = -(2 \cdot 4) \cdot p^3 = -8p^3 \). Теперь запишем все полученные одночлены: \( 8p^4 + 12p^3 + 4p^4 — 8p^3 \). Сгруппируем подобные: слагаемые с \( p^4 \): \( 8p^4 + 4p^4 = 12p^4 \); слагаемые с \( p^3 \): \( 12p^3 — 8p^3 = 4p^3 \). Итоговое упрощённое выражение: \( 12p^4 + 4p^3 \).

б) Рассмотрим выражение \( x \cdot \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}x + 0{,}8x — x \cdot \frac{1}{6}x — x \). Сначала упростим каждый член. Первый: \( x \cdot \frac{2}{3}x = \frac{2}{3}x^2 \). Второй и третий — линейные: \( \frac{1}{4}x \) и \( 0{,}8x = \frac{8}{10}x = \frac{4}{5}x \). Четвёртый: \( -x \cdot \frac{1}{6}x = -\frac{1}{6}x^2 \). Пятый: \( -x \). Теперь объединим: \( \frac{2}{3}x^2 — \frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{4}{5}x — x \). Приведём подобные по степеням. Для \( x^2 \): общий знаменатель 6, \( \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \), значит \( \frac{4}{6}x^2 — \frac{1}{6}x^2 = \frac{3}{6}x^2 = \frac{1}{2}x^2 = 0{,}5x^2 \). Для \( x \): приведём все коэффициенты к общему знаменателю 20: \( \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \), \( \frac{4}{5} = \frac{16}{20} \), \( 1 = \frac{20}{20} \). Тогда \( \frac{5}{20}x + \frac{16}{20}x — \frac{20}{20}x = \frac{1}{20}x = 0{,}05x \). Окончательный результат: \( 0{,}5x^2 + 0{,}05x \).

в) Рассмотрим выражение \( y \cdot 2y — 3y — y^2 — 5 + 2yy — y \cdot 5 + y \cdot 7y^2 \). Упростим каждое произведение. Первое: \( y \cdot 2y = 2y^2 \). Второе: \( -3y \) (остаётся). Третье: \( -y^2 \). Четвёртое: \( -5 \). Пятое: \( 2yy = 2y^2 \). Шестое: \( -y \cdot 5 = -5y \). Седьмое: \( y \cdot 7y^2 = 7y^{1+2} = 7y^3 \). Теперь запишем все члены: \( 7y^3 + 2y^2 — y^2 + 2y^2 — 3y — 5y — 5 \). Сгруппируем по степеням. Степень 3: \( 7y^3 \). Степень 2: \( 2y^2 — y^2 + 2y^2 = (2 — 1 + 2)y^2 = 3y^2 \). Степень 1: \( -3y — 5y = -8y \). Свободный член: \( -5 \). Итог: \( 7y^3 + 3y^2 — 8y — 5 \).

г) Рассмотрим выражение \( \frac{5}{6}aa + \frac{1}{3}a — 0{,}6aa + a \cdot 0{,}1a \). Заметим, что \( aa = a^2 \), поэтому перепишем: \( \frac{5}{6}a^2 + \frac{1}{3}a — 0{,}6a^2 + 0{,}1a^2 \). Переведём десятичные дроби в обыкновенные: \( 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \), \( 0{,}1 = \frac{1}{10} \). Получаем: \( \frac{5}{6}a^2 — \frac{3}{5}a^2 + \frac{1}{10}a^2 + \frac{1}{3}a \). Найдём общий знаменатель для коэффициентов при \( a^2 \): наименьшее общее кратное чисел 6, 5, 10 — это 30. Преобразуем: \( \frac{5}{6} = \frac{25}{30} \), \( \frac{3}{5} = \frac{18}{30} \), \( \frac{1}{10} = \frac{3}{30} \). Тогда сумма коэффициентов: \( \frac{25}{30} — \frac{18}{30} + \frac{3}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \). Таким образом, квадратичная часть: \( \frac{1}{3}a^2 \). Линейная часть остаётся: \( \frac{1}{3}a \). Итоговое выражение: \( \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{3}a \).

Итоговые ответы:
а) \( 12p^4 + 4p^3 \)
б) \( 0{,}5x^2 + 0{,}05x \)
в) \( 7y^3 + 3y^2 — 8y — 5 \)
г) \( \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{3}a \)