ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.13 Мордкович — Подробные Ответы

Приведите многочлен к стандартному виду и найдите его значение:

а) \( a^3 b + a^2 b — 3ab^2 + 2a^2 b + 2ab^2 \) при \( a = -1, \; b = 2 \)

б) \( \frac{1x}{2} — \frac{1y^2}{3} + 0{,}3x — x + \frac{5y^2}{9} \) при \( x = 5, \; y = \frac{3}{4} \)

в) \( m^4 — 3m^3 n + m^2 n^2 — m^3 n — 4m^2 n^2 \) при \( m = -\frac{1}{2}, \; n = \frac{1}{3} \)

г) \( 6p^2 q — 5p q^2 + 5p^3 + 2p q^2 — 8p^3 — 3p^2 q \) при \( p = -2, \; q = 0{,}5 \)

а) \( a^{3}b + a^{2}b — 3ab^{2} + 2a^{2}b + 2ab^{2} = a^{3}b + 3a^{2}b — ab^{2} \),
при \( a = -1 \), \( b = 2 \):
\( a^{3}b + 3a^{2}b — ab^{2} = (-1)^{3} \cdot 2 + 3 \cdot (-1)^{2} \cdot 2 — (-1) \cdot 2^{2} = \)
\( = -2 + 6 + 4 = 8. \)

б) \( \frac{1}{2}x — \frac{1}{3}y^{2} + 0{,}3x — x + \frac{5}{9}y^{2} = \frac{1}{2}x + \frac{3}{10}x — x — \frac{3}{9}y^{2} + \frac{5}{9}y^{2} = \)
\( = \frac{5}{10}x + \frac{3}{10}x — x + \frac{2}{9}y^{2} = \frac{8}{10}x — x + \frac{2}{9}y^{2} = -\frac{2}{10}x + \frac{2}{9}y^{2} = \)
\( = -0{,}2x + \frac{2}{9}y^{2} \), при \( x = 5 \), \( y = \frac{3}{4} \):
\( -0{,}2x + \frac{2}{9}y^{2} = -0{,}2 \cdot 5 + \frac{2}{9} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{2} = -1 + \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{16} = -1 + \frac{1}{8} = -\frac{7}{8}. \)

в) \( m^{4} — 3m^{3}n + m^{2}n^{2} — m^{3}n — 4m^{2}n^{2} = m^{4} — 4m^{3}n — 3m^{2}n^{2} \),
при \( m = -\frac{1}{2} \), \( n = \frac{1}{3} \):
\( m^{4} — 4m^{3}n — 3m^{2}n^{2} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{4} — 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)^{3} \cdot \frac{1}{3} — 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{2} = \)
\( = \frac{1}{16} — 4 \cdot \left( -\frac{1}{8} \right) \cdot \frac{1}{3} — 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \)
\( = \frac{1}{16} + \frac{1}{6} — \frac{1}{12} = frac{3 + 8 — 4}{48} = \frac{7}{48}. \)

г) \( 6p^{2}q — 5pq^{2} + 5p^{3} + 2pq^{2} — 8p^{3} — 3p^{2}q = 3p^{2}q — 3pq^{2} — 3p^{3} \),
при \( p = -2 \), \( q = 0{,}5 \):
\( 3p^{2}q — 3pq^{2} — 3p^{3} = 3 \cdot (-2)^{2} \cdot 0{,}5 — 3 \cdot (-2) \cdot 0{,}5^{2} — 3 \cdot (-2)^{3} = \)
\( = 1{,}5 \cdot 4 + 6 \cdot 0{,}25 — 3 \cdot (-8) = 6 + 1{,}5 + 24 = 31{,}5. \)

а) \( a^{3}b + a^{2}b — 3ab^{2} + 2a^{2}b + 2ab^{2} \)

Сгруппируем подобные слагаемые:

— Содержащие \( a^{3}b \): только \( a^{3}b \)
— Содержащие \( a^{2}b \): \( a^{2}b + 2a^{2}b = 3a^{2}b \)
— Содержащие \( ab^{2} \): \( -3ab^{2} + 2ab^{2} = -ab^{2} \)

Получаем упрощённое выражение:
\[
a^{3}b + 3a^{2}b — ab^{2}
\]

Подставим значения \( a = -1 \), \( b = 2 \):

\[
(-1)^{3} \cdot 2 + 3 \cdot (-1)^{2} \cdot 2 — (-1) \cdot 2^{2}
\]

Вычислим по частям:

— \( (-1)^{3} = -1 \), значит \( -1 \cdot 2 = -2 \)
— \( (-1)^{2} = 1 \), значит \( 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6 \)
— \( -(-1) \cdot 2^{2} = 1 \cdot 4 = 4 \)

Сумма:
\[
-2 + 6 + 4 = 8
\]

б) \( \frac{1}{2}x — \frac{1}{3}y^{2} + 0{,}3x — x + \frac{5}{9}y^{2} \)

Приведём подобные члены отдельно для \( x \) и для \( y^{2} \).

Сначала преобразуем \( 0{,}3x = \frac{3}{10}x \).

Слагаемые с \( x \):
\[
\frac{1}{2}x + \frac{3}{10}x — x = \left( \frac{5}{10} + \frac{3}{10} — \frac{10}{10} \right)x = -\frac{2}{10}x = -0{,}2x
\]

Слагаемые с \( y^{2} \):
\[
— \frac{1}{3}y^{2} + \frac{5}{9}y^{2} = -\frac{3}{9}y^{2} + \frac{5}{9}y^{2} = \frac{2}{9}y^{2}
\]

Получаем:
\[
-0{,}2x + \frac{2}{9}y^{2}
\]

Подставим \( x = 5 \), \( y = \frac{3}{4} \):

\[
-0{,}2 \cdot 5 + \frac{2}{9} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{2} = -1 + \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{16}
\]

Упростим:
\[
\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}
\]

Тогда:
\[
-1 + \frac{1}{8} = -\frac{7}{8}
\]

в) \( m^{4} — 3m^{3}n + m^{2}n^{2} — m^{3}n — 4m^{2}n^{2} \)

Приведём подобные:

— \( m^{4} \) — остаётся
— \( -3m^{3}n — m^{3}n = -4m^{3}n \)
— \( m^{2}n^{2} — 4m^{2}n^{2} = -3m^{2}n^{2} \)

Результат:
\[
m^{4} — 4m^{3}n — 3m^{2}n^{2}
\]

Подставим \( m = -\frac{1}{2} \), \( n = \frac{1}{3} \):

Вычислим каждое слагаемое:

— \( m^{4} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{4} = \frac{1}{16} \)
— \( -4m^{3}n = -4 \cdot \left( -\frac{1}{8} \right) \cdot \frac{1}{3} = +\frac{4}{24} = \frac{1}{6} \)
— \( -3m^{2}n^{2} = -3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} = -\frac{3}{36} = -\frac{1}{12} \)

Сложим:
\[
\frac{1}{16} + \frac{1}{6} — \frac{1}{12}
\]

Приведём к общему знаменателю 48:

— \( \frac{1}{16} = \frac{3}{48} \)
— \( \frac{1}{6} = \frac{8}{48} \)
— \( \frac{1}{12} = \frac{4}{48} \)

Тогда:
\[
\frac{3}{48} + \frac{8}{48} — \frac{4}{48} = \frac{7}{48}
\]

г) \( 6p^{2}q — 5pq^{2} + 5p^{3} + 2pq^{2} — 8p^{3} — 3p^{2}q \)

Приведём подобные:

— \( 6p^{2}q — 3p^{2}q = 3p^{2}q \)
— \( -5pq^{2} + 2pq^{2} = -3pq^{2} \)
— \( 5p^{3} — 8p^{3} = -3p^{3} \)

Получаем:
\[
3p^{2}q — 3pq^{2} — 3p^{3}
\]

Подставим \( p = -2 \), \( q = 0{,}5 \):

Вычислим по частям:

— \( 3p^{2}q = 3 \cdot (-2)^{2} \cdot 0{,}5 = 3 \cdot 4 \cdot 0{,}5 = 6 \)
— \( -3pq^{2} = -3 \cdot (-2) \cdot (0{,}5)^{2} = 6 \cdot 0{,}25 = 1{,}5 \)
— \( -3p^{3} = -3 \cdot (-8) = 24 \)

Сумма:
\[
6 + 1{,}5 + 24 = 31{,}5
\]

Ответы:
а) \( 8 \)
б) \( -\frac{7}{8} \)
в) \( \frac{7}{48} \)
г) \( 31{,}5 \)