Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.14 Мордкович — Подробные Ответы
Дан многочлен
\[
p(x) = 7x^3 — x + 2x^2 — 5x^3 + x^2 — x — 3.
\]
а) Приведите многочлен \( p(x) \) к стандартному виду.
б) Вычислите \( p(1), \; p(-1), \; p(2), \; p\!\left(\frac{1}{2}\right) \).
\( p(x) = 7x^{3} — x + 2x^{2} — 5x^{3} + x^{2} — x — 3 \)
а) \( 7x^{3} — x + 2x^{2} — 5x^{3} + x^{2} — x — 3 = 2x^{3} + 3x^{2} — 2x — 3. \)
б) \( p(1) = 2x^{3} + 3x^{2} — 2x — 3 = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} — 2 \cdot 1 — 3 = \)
\( = 2 + 3 — 2 — 3 = 0. \)
\( p(-1) = 2x^{3} + 3x^{2} — 2x — 3 = 2 \cdot (-1)^{3} + 3 \cdot (-1)^{2} — 2 \cdot (-1) — 3 = \)
\( = -2 + 3 + 2 — 3 = 0. \)
\( p(2) = 2x^{3} + 3x^{2} — 2x — 3 = 2 \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} — 2 \cdot 2 — 3 = \)
\( = 2 \cdot 8 + 3 \cdot 4 — 4 — 3 = 16 + 12 — 7 = 28 — 7 = 21. \)
\( p\left( \frac{1}{2} \right) = 2x^{3} + 3x^{2} — 2x — 3 = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3} + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} — 2 \cdot \frac{1}{2} — 3 = \)
\( = 2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{4} — 1 — 3 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} — 4 = 1 — 4 = -3. \)
Рассмотрим многочлен
\[
p(x) = 7x^{3} — x + 2x^{2} — 5x^{3} + x^{2} — x — 3.
\]
а) Приведём его к стандартному виду, то есть запишем в порядке убывания степеней и объединим подобные члены.
Сгруппируем слагаемые по степеням:
— Степень 3: \( 7x^{3} — 5x^{3} = 2x^{3} \)
— Степень 2: \( 2x^{2} + x^{2} = 3x^{2} \)
— Степень 1: \( -x — x = -2x \)
— Свободный член (степень 0): \( -3 \)
Получаем стандартную запись многочлена:
\[
p(x) = 2x^{3} + 3x^{2} — 2x — 3.
\]
б) Вычислим значения многочлена при различных значениях аргумента, подставляя их в упрощённое выражение \( p(x) = 2x^{3} + 3x^{2} — 2x — 3 \).
1. \( p(1) \):
\[
p(1) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} — 2 \cdot 1 — 3 = 2 + 3 — 2 — 3 = 0.
\]
2. \( p(-1) \):
\[
p(-1) = 2 \cdot (-1)^{3} + 3 \cdot (-1)^{2} — 2 \cdot (-1) — 3 = -2 + 3 + 2 — 3 = 0.
\]
3. \( p(2) \):
\[p(2) = 2 \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} — 2 \cdot 2 — 3\]
\[= 2 \cdot 8 + 3 \cdot 4 — 4 — 3 = 16 + 12 — 7 = 21.\]
4. \( p\left( \frac{1}{2} \right) \):
\[
p\left( \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3}+ 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} — 2 \cdot \frac{1}{2} — 3.
\]
Вычислим каждое слагаемое:
— \( \left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{1}{8} \), значит \( 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \)
— \( \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4} \), значит \( 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
— \( 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \)
Подставим:
\[
\frac{1}{4} + \frac{3}{4} — 1 — 3 = ( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} ) — 4 = 1 — 4 = -3.
\]
Ответы:
а) \( p(x) = 2x^{3} + 3x^{2} — 2x — 3 \)
б) \( p(1) = 0 \), \( p(-1) = 0 \), \( p(2) = 21 \), \( p\left( \frac{1}{2} \right) = -3 \)
