Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.15 Мордкович — Подробные Ответы
Дан многочлен
\[
p(y) = 9y^4 + 3y^2 — 2y^3 — y — 8y^4 — 3y^2 + 2.
\]
а) Приведите многочлен \( p(y) \) к стандартному виду.
б) Вычислите \( p(1), \; p(-1), \; p(2), \; p\!\left(\frac{1}{2}\right) \).
\( p(y) = 9y^4 + 3y^2 — 2y^3 — y — 8y^4 — 3y^2 + 2 \)
а) \( 9y^4 + 3y^2 — 2y^3 — y — 8y^4 — 3y^2 + 2 = y^4 — 2y^3 — y + 2 \).
б) \( p(1) = y^4 — 2y^3 — y + 2 = 1^4 — 2 \cdot 1^3 — 1 + 2 = 1 — 2 — 1 + 2 = 0 \).
\( p(-1) = y^4 — 2y^3 — y + 2 = (-1)^4 — 2 \cdot (-1)^3 — (-1) + 2 = \)
\( = 1 + 2 + 1 + 2 = 6 \).
\( p(2) = y^4 — 2y^3 — y + 2 = 2^4 — 2 \cdot 2^3 — 2 + 2 = 16 — 2 \cdot 8 = 0 \).
\( p\left( \frac{1}{2} \right) = y^4 — 2y^3 — y + 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 — 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 — \frac{1}{2} + 2 = \)
\( = \frac{1}{16} — 2 \cdot \frac{1}{8} + 1\frac{1}{2} = \frac{1}{16} — \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1 — 4 + 3 \cdot 8}{16} = \frac{-3 + 24}{16} = \)
\( = \frac{21}{16} = 1\frac{5}{16} \).
Рассмотрим многочлен \( p(y) = 9y^4 + 3y^2 — 2y^3 — y — 8y^4 — 3y^2 + 2 \).
Сначала приведём его к стандартному виду, объединив подобные члены. Запишем все одночлены, сгруппировав по степеням \( y \):
— Члены с \( y^4 \): \( 9y^4 — 8y^4 = (9 — 8)y^4 = y^4 \).
— Члены с \( y^3 \): только \( -2y^3 \).
— Члены с \( y^2 \): \( 3y^2 — 3y^2 = 0 \), они взаимно уничтожаются.
— Члены с \( y \): только \( -y \).
— Свободный член: \( +2 \).
Таким образом, упрощённый вид многочлена:
\[
p(y) = y^4 — 2y^3 — y + 2
\]
Теперь вычислим значения этого многочлена при различных значениях аргумента.
Вычисление \( p(1) \):
Подставим \( y = 1 \):
\[
p(1) = 1^4 — 2 \cdot 1^3 — 1 + 2 = 1 — 2 — 1 + 2
\]
Выполним действия последовательно: \( 1 — 2 = -1 \), затем \( -1 — 1 = -2 \), и \( -2 + 2 = 0 \).
Итак, \( p(1) = 0 \).
Вычисление \( p(-1) \):
Подставим \( y = -1 \):
\[
p(-1) = (-1)^4 — 2 \cdot (-1)^3 — (-1) + 2
\]
Вычислим степени: \( (-1)^4 = 1 \), \( (-1)^3 = -1 \), поэтому
\[
p(-1) = 1 — 2 \cdot (-1) + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 + 2
\]
Сумма: \( 1 + 2 = 3 \), \( 3 + 1 = 4 \), \( 4 + 2 = 6 \).
Следовательно, \( p(-1) = 6 \).
Вычисление \( p(2) \):
Подставим \( y = 2 \):
\[
p(2) = 2^4 — 2 \cdot 2^3 — 2 + 2
\]
Вычислим степени: \( 2^4 = 16 \), \( 2^3 = 8 \), тогда
\[
p(2) = 16 — 2 \cdot 8 — 2 + 2 = 16 — 16 — 2 + 2
\]
Заметим, что \( -2 + 2 = 0 \) и \( 16 — 16 = 0 \), поэтому \( p(2) = 0 \).
Вычисление \( p\left( \frac{1}{2} \right) \):
Подставим \( y = \frac{1}{2} \):
\[
p\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^4 — 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 — \frac{1}{2} + 2
\]
Вычислим степени:
\[
\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}, \quad \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}
\]
Тогда:
\[
p\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{16} — 2 \cdot \frac{1}{8} — \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{16} — \frac{2}{8} — \frac{1}{2} + 2
\]
Упростим: \( \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \), а \( 2 — \frac{1}{2} = \frac{4}{2} — \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).
Теперь выражение:
\[
\frac{1}{16} — \frac{1}{4} + \frac{3}{2}
\]
Приведём все дроби к общему знаменателю 16:
\[
\frac{1}{16} — \frac{4}{16} + \frac{24}{16} = \frac{1 — 4 + 24}{16} = \frac{21}{16}
\]
Число \( \frac{21}{16} \) можно записать как смешанную дробь: \( 1\frac{5}{16} \).
Следовательно, \( p\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{21}{16} = 1\frac{5}{16} \).
Итоговые результаты:
Упрощённый многочлен: \( p(y) = y^4 — 2y^3 — y + 2 \)
\( p(1) = 0 \)
\( p(-1) = 6 \)
\( p(2) = 0 \)
\( p\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{21}{16} = 1\frac{5}{16} \)
