ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.20 Мордкович — Подробные Ответы

Дан многочлен
\[
p(a, b) = 2a^2 — 3ab + b^2 — ab — a^2.
\]

а) Приведите многочлен \( p(a, b) \) к стандартному виду.
б) Вычислите \( p(1, 2), \; p(1, -1), \; p(2, 2), \; p(-1, 2) \).

\( p(a; b) = 2a^{2} — 3ab + b^{2} — ab — a^{2} \)

а) \( 2a^{2} — 3ab + b^{2} — ab — a^{2} = a^{2} + b^{2} — 4ab. \)

б) \( p(1; 2) = a^{2} + b^{2} — 4ab = 1^{2} + 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 4 — 8 = -3. \)

\( p(1; -1) = a^{2} + b^{2} — 4ab = 1^{2} + (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 1 + 4 = 6. \)

\( p(2; 2) = a^{2} + b^{2} — 4ab = 2^{2} + 2^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 4 + 4 — 16 = -8. \)

\( p(-1; 2) = a^{2} + b^{2} — 4ab = (-1)^{2} + 2^{2} — 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 1 + 4 + 8 = 13. \)

Рассмотрим многочлен от двух переменных:
\[
p(a; b) = 2a^{2} — 3ab + b^{2} — ab — a^{2}.
\]

а) Приведём его к стандартному виду, объединив подобные слагаемые.

Сгруппируем члены по типу:

— Квадраты переменной \( a \): \( 2a^{2} — a^{2} = a^{2} \)
— Квадрат переменной \( b \): \( + b^{2} \) (единственный)
— Смешанные члены с \( ab \): \( -3ab — ab = -4ab \)

Таким образом, многочлен упрощается до:
\[
p(a; b) = a^{2} + b^{2} — 4ab.
\]

б) Вычислим значения многочлена при заданных парах значений переменных, подставляя их в упрощённое выражение \( a^{2} + b^{2} — 4ab \).

1. \( p(1; 2) \):
\[
1^{2} + 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 4 — 8 = -3.
\]

2. \( p(1; -1) \):
\[
1^{2} + (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 1 + 4 = 6.
\]

3. \( p(2; 2) \):
\[
2^{2} + 2^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 4 + 4 — 16 = -8.
\]

4. \( p(-1; 2) \):
\[
(-1)^{2} + 2^{2} — 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 1 + 4 + 8 = 13.
\]

Все вычисления выполнены корректно.

Ответы:
а) \( p(a; b) = a^{2} + b^{2} — 4ab \)
б) \( p(1; 2) = -3 \), \( p(1; -1) = 6 \), \( p(2; 2) = -8 \), \( p(-1; 2) = 13 \)