ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.21 Мордкович — Подробные Ответы

Дан многочлен
\[
p(a, b) = a^3 + 5a^2b + 2ab^2 + b^3 + ab^2 — 2a^2b.
\]

а) Приведите многочлен \( p(a, b) \) к стандартному виду.
б) Вычислите \( p(1, 1), \; p(-1, 1), \; p(1, -2), \; p(-1, -2) \).

\( p(a; b) = a^3 + 5a^2b + 2ab^2 + b^3 + ab^2 — 2a^2b \)

а) \( a^3 + 5a^2b + 2ab^2 + b^3 + ab^2 — 2a^2b = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 \).

б) \( p(1; 1) = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = 1^3 + 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = \)
\( = 1 + 1 + 3 + 3 = 8 \).

\( p(-1; 1) = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = (-1)^3 + 1^3 + 3 \cdot (-1)^2 \cdot 1 + \)
\( + 3 \cdot (-1) \cdot 1^2 = -1 + 1 + 3 — 3 = 0 \).

\( p(1; -2) = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = 1^3 + (-2)^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (-2) + \)
\( + 3 \cdot 1 \cdot (-2)^2 = 1 — 8 — 6 + 3 \cdot 4 = -13 + 12 = -1 \).

\( p(-1; -2) = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = (-1)^3 + (-2)^3 + 3 \cdot (-1)^2 \cdot (-2) + \)
\( + 3 \cdot (-1) \cdot (-2)^2 = -1 — 8 — 6 — 3 \cdot 4 = -15 — 12 = -27 \).

Рассмотрим многочлен от двух переменных:
\[
p(a; b) = a^3 + 5a^2b + 2ab^2 + b^3 + ab^2 — 2a^2b
\]

Сначала приведём его к стандартному виду, объединив подобные члены. Выделим одночлены с одинаковыми степенями по \( a \) и \( b \):

— Члены с \( a^3 \): только \( a^3 \).
— Члены с \( b^3 \): только \( b^3 \).
— Члены с \( a^2b \): \( 5a^2b — 2a^2b = (5 — 2)a^2b = 3a^2b \).
— Члены с \( ab^2 \): \( 2ab^2 + ab^2 = (2 + 1)ab^2 = 3ab^2 \).

Таким образом, упрощённая форма многочлена:
\[
p(a; b) = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2
\]

Заметим, что это выражение совпадает с разложением куба суммы:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]
Следовательно, \( p(a; b) = (a + b)^3 \). Это наблюдение можно использовать для проверки вычислений.

Теперь найдём значения многочлена при указанных значениях переменных.

Вычисление \( p(1; 1) \):
Подставим \( a = 1 \), \( b = 1 \):

\[
p(1; 1) = 1^3 + 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 1 + 1 + 3 + 3
\]
Выполним сложение: \( 1 + 1 = 2 \), \( 2 + 3 = 5 \), \( 5 + 3 = 8 \).
Или, используя формулу куба суммы: \( (1 + 1)^3 = 2^3 = 8 \).
Результат: \( p(1; 1) = 8 \).

Вычисление \( p(-1; 1) \):
Подставим \( a = -1 \), \( b = 1 \):

\[
p(-1; 1) = (-1)^3 + 1^3 + 3 \cdot (-1)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) \cdot 1^2
\]
Вычислим по частям:
— \( (-1)^3 = -1 \)
— \( 1^3 = 1 \)
— \( (-1)^2 = 1 \), поэтому \( 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3 \)
— \( 3 \cdot (-1) \cdot 1 = -3 \)

Сумма: \( -1 + 1 + 3 — 3 = ( -1 + 1 ) + ( 3 — 3 ) = 0 + 0 = 0 \).
Через куб суммы: \( (-1 + 1)^3 = 0^3 = 0 \).
Результат: \( p(-1; 1) = 0 \).

Вычисление \( p(1; -2) \):
Подставим \( a = 1 \), \( b = -2 \):
\[
p(1; -2) = 1^3 + (-2)^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 \cdot (-2)^2
\]

Вычислим:
— \( 1^3 = 1 \)
— \( (-2)^3 = -8 \)
— \( 3 \cdot 1 \cdot (-2) = -6 \)
— \( (-2)^2 = 4 \), поэтому \( 3 \cdot 1 \cdot 4 = 12 \)

Сумма: \( 1 — 8 — 6 + 12 = (1 — 8) + (-6 + 12) = -7 + 6 = -1 \).
Или через куб суммы: \( (1 + (-2))^3 = (-1)^3 = -1 \).
Результат: \( p(1; -2) = -1 \).

Вычисление \( p(-1; -2) \):
Подставим \( a = -1 \), \( b = -2 \):
\[
p(-1; -2) = (-1)^3 + (-2)^3 + 3 \cdot (-1)^2 \cdot (-2) + 3 \cdot (-1) \cdot (-2)^2
\]

Вычислим пошагово:
— \( (-1)^3 = -1 \)
— \( (-2)^3 = -8 \)
— \( (-1)^2 = 1 \), значит \( 3 \cdot 1 \cdot (-2) = -6 \)
— \( (-2)^2 = 4 \), значит \( 3 \cdot (-1) \cdot 4 = -12 \)

Сумма: \( -1 — 8 — 6 — 12 = -(1 + 8 + 6 + 12) = -27 \).
Через куб суммы: \( (-1 + (-2))^3 = (-3)^3 = -27 \).
Результат: \( p(-1; -2) = -27 \).

Итоговые ответы:
Упрощённый многочлен: \( p(a; b) = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = (a + b)^3 \)
\( p(1; 1) = 8 \)
\( p(-1; 1) = 0 \)
\( p(1; -2) = -1 \)
\( p(-1; -2) = -27 \)