Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 29.28 Мордкович — Подробные Ответы
Пусть
\[
a = 3x^2 + 4x + 8, \quad b = 1{,}2 — 2x^2 — 7x, \quad c = 12{,}5x^2 — 3{,}5x + 21{,}8.
\]
Составьте выражение и приведите его к многочлену стандартного вида:
а) \( a + b + c \)
б) \( a — b + c \)
в) \( b — a — c \)
г) \( c — b — a \)
\( k = 5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 — 24b^3 \),\( l = 7a^3 — 13a^2b — 4ab^2 + 17b^3 \),
\( m = -12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3 \).
а) \( k + l + m = 5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 — 24b^3 + 7a^3 — 13a^2b — 4ab^2\)
\(+ 17b^3 — 12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3 = 8b^3 \).
б) \( l + k — m = 5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 — 24b^3 + 7a^3 — 13a^2b — 4ab^2\)
\(+ 17b^3 — (-12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3)= 12a^3 — 9a^2b\)
\( + 4ab^2 — 7b^3 + 12a^3 — 9a^2b + 4ab^2 — 15b^3 = 24a^3 — 18a^2b + 8ab^2 — 22b^3 \).
в) \( m — l — k = -12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3 — (7a^3 — 13a^2b — 4ab^2 + 17b^3)\)
\(- (5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 — 24b^3)\)
\(= -12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3 — 7a^3 + 13a^2b + 4ab^2 — 17b^3 — 5a^3\)
\(- 4a^2b — 8ab^2 + 24b^3 = -24a^3 + 18a^2b — 8ab^2 + 22b^3 \).
г) \( l — k + m = 7a^3 — 13a^2b — 4ab^2 + 17b^3 — (5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 — 24b^3) \)
\(- 12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3 = -5a^3 — 4a^2b\)
\(- 8ab^2 + 32b^3 — 5a^3 — 4a^2b — 8ab^2 + 24b^3 = -10a^3 — 8a^2b — 16ab^2 + 56b^3 \)
Даны три многочлена от переменных \( a \) и \( b \):
\[
k = 5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 — 24b^3
\]
\[
l = 7a^3 — 13a^2b — 4ab^2 + 17b^3
\]
\[
m = -12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3
\]
Ниже подробно рассмотрим каждую комбинацию.
а) Вычислим сумму \( k + l + m \). Запишем все три многочлена подряд без скобок:
\[
k + l + m = 5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 — 24b^3 + 7a^3 — 13a^2b — 4ab^2 + 17b^3
\]
\[- 12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3\]
Теперь сгруппируем подобные члены по типам одночленов.
— Слагаемые с \( a^3 \): \( 5a^3 + 7a^3 — 12a^3 = (5 + 7 — 12)a^3 = 0a^3 = 0 \)
— Слагаемые с \( a^2b \): \( 4a^2b — 13a^2b + 9a^2b = (4 — 13 + 9)a^2b = 0a^2b = 0 \)
— Слагаемые с \( ab^2 \): \( 8ab^2 — 4ab^2 — 4ab^2 = (8 — 4 — 4)ab^2 = 0ab^2 = 0 \)
— Слагаемые с \( b^3 \): \( -24b^3 + 17b^3 + 15b^3 = (-24 + 17 + 15)b^3 = 8b^3 \)
Все члены, содержащие \( a \), взаимно уничтожаются. Остаётся только:
\[
k + l + m = 8b^3
\]
б) Вычислим \( l + k — m \). Поскольку сложение коммутативно, \( l + k = k + l \), но важно правильно обработать вычитание \( m \):
\[l + k — m = (k + l) — m =\]
\[(5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 — 24b^3 + 7a^3 — 13a^2b — 4ab^2 + 17b^3)\]
\[- (-12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3)\]
Сначала упростим \( k + l \):
— \( a^3 \): \( 5 + 7 = 12 \Rightarrow 12a^3 \)
— \( a^2b \): \( 4 — 13 = -9 \Rightarrow -9a^2b \)
— \( ab^2 \): \( 8 — 4 = 4 \Rightarrow 4ab^2 \)
— \( b^3 \): \( -24 + 17 = -7 \Rightarrow -7b^3 \)
Итак, \( k + l = 12a^3 — 9a^2b + 4ab^2 — 7b^3 \).
Теперь вычтем \( m \), то есть прибавим противоположный многочлен:
\[
— m = -(-12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3) = +12a^3 — 9a^2b + 4ab^2 — 15b^3
\]
Сложим \( (k + l) + (-m) \):
— \( a^3 \): \( 12a^3 + 12a^3 = 24a^3 \)
— \( a^2b \): \( -9a^2b — 9a^2b = -18a^2b \)
— \( ab^2 \): \( 4ab^2 + 4ab^2 = 8ab^2 \)
— \( b^3 \): \( -7b^3 — 15b^3 = -22b^3 \)
Итог:
\[
l + k — m = 24a^3 — 18a^2b + 8ab^2 — 22b^3
\]
в) Вычислим \( m — l — k \). Это эквивалентно \( m + (-l) + (-k) \). Раскроем все скобки с учётом минусов:
\[
m-l -k= (-12a^3 +9a^2b — 4ab^2 +15b^3)\]
\[-(7a^3 — 13a^2b -4ab^2 + 17b^3)\]
\[- (5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 — 24b^3)
\]
Раскрываем вторую скобку: минус меняет все знаки:
\( -7a^3 + 13a^2b + 4ab^2 — 17b^3 \)
Раскрываем третью скобку:
\( -5a^3 — 4a^2b — 8ab^2 + 24b^3 \)
Теперь соберём все члены:
— \( a^3 \): \( -12 — 7 — 5 = -24 \Rightarrow -24a^3 \)
— \( a^2b \): \( 9 + 13 — 4 = 18 \Rightarrow 18a^2b \)
— \( ab^2 \): \( -4 + 4 — 8 = -8 \Rightarrow -8ab^2 \)
— \( b^3 \): \( 15 — 17 + 24 = 22 \Rightarrow 22b^3 \)
Получаем:
\[
m — l — k = -24a^3 + 18a^2b — 8ab^2 + 22b^3
\]
г) Вычислим \( l — k + m \). Запишем:
\[
l — k + m = (7a^3 — 13a^2b — 4ab^2 + 17b^3) — (5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 — 24b^3)\]
\[+ (-12a^3 + 9a^2b — 4ab^2 + 15b^3)
\]
Раскроем скобку с минусом:
\( -5a^3 — 4a^2b — 8ab^2 + 24b^3 \)
Теперь сложим все три части:
— \( a^3 \): \( 7 — 5 — 12 = -10 \Rightarrow -10a^3 \)
— \( a^2b \): \( -13 — 4 + 9 = -8 \Rightarrow -8a^2b \)
— \( ab^2 \): \( -4 — 8 — 4 = -16 \Rightarrow -16ab^2 \)
— \( b^3 \): \( 17 + 24 + 15 = 56 \Rightarrow 56b^3 \)
Таким образом,
\[
l — k + m = -10a^3 — 8a^2b — 16ab^2 + 56b^3
\]
Итоговые ответы:
а) \( 8b^3 \)
б) \( 24a^3 — 18a^2b + 8ab^2 — 22b^3 \)
в) \( -24a^3 + 18a^2b — 8ab^2 + 22b^3 \)
г) \( -10a^3 — 8a^2b — 16ab^2 + 56b^3 \)
